来自人教群：正方体内的最大四面体

kuing

浙D**张*(2872*****) 13:45:14
单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（ ）

阅A****k(249533164)  14:12:33
为方便表达，记正方体为 X，其外接球为 Y，
则 X 内的四面体体积的最大值  ≤  Y 上的内接四面体体积的最大值，
因为球的内接四面体以正四面体的体积最大，
而存在同时内接于 X 及 Y 的正四面体，
所以该正四面体也就是 X 内的最大体积的四面体，
易知当 X 为单位正方体时，该正四面体体积为 1/3

如果觉得这解释有点拗口，那也可以这样：
不妨建系使单位正方体为 `[0,1]^3`，设四点 `(x_i,y_i,z_i)`，所有变量均属于 `[0,1]`，固定除 `x_1` 外的所有变量，则体积关于 `x_1` 必然是 `|Ax_1+B|` 的形式，那么最大值在 `x_1=0` 或 `x_1=1` 时取，其余变量同理，所以只需考虑所有变量均属于 `\{0,1\}`，亦即四面体的顶点都在正方体顶点上的情况即可，所有情形只有正四面体最大，其余都是 `1/6`。