零点问题

力工

已知函数$f(x)=lnx+x^2-ax+2(a$为实数)在定义域内不单调。
(1)求实数$a$的取值范围；(2)若函数$f(x)$存在3个不同零点，证明：存在$m,n$,使$\frac{f(m)-f(n)}{m-n}
<2\sqrt{2}-3$.
（1）$a>2\sqrt{2}$.但（2）看了答案，不知所云，构造了两次函数，不明觉厉，感觉复杂，
求大佬帮忙解决.

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战巡

回复 1# 力工


\[f'(x)=\frac{1}{x}+2x-a=0\]
\[x=\frac{1}{4}(a\pm\sqrt{a^2-8})\]
这里要有三个解得保证
\[f\left(\frac{1}{4}(a+\sqrt{a^2-8})\right)=\frac{1}{8}(12-a(a+\sqrt{a^2-8}))+\ln\left(\frac{1}{4}(a+\sqrt{a^2-8})\right)<0\]
这其中如果令中间这块为$g(a)$，有
\[g'(a)=\frac{d}{da}\left[\frac{1}{8}(12-a(a+\sqrt{a^2-8}))+\ln\left(\frac{1}{4}(a+\sqrt{a^2-8})\right)\right]=-\frac{1}{4}(a+\sqrt{a^2-8})<0\]
而$g(3)=0$，因此$a>3$

按中值定理，假设$m<n$，则存在$\xi\in(m,n)$使得$\frac{f(m)-f(n)}{m-n}=f'(\xi)$，这里不妨找一下$f'(x)$的最小值，那么
\[f''(x)=2-\frac{1}{x^2}\]
其最小值在$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$取到，此时
\[f'(\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}-a<2\sqrt{2}-3\]
那么如果令$a=3+\Delta a$，其中$\Delta a>0$为常数，鉴于
\[\frac{f(m)-f(n)}{m-n}=f'(\xi)>f'(\frac{1}{\sqrt{2}})\]
我们令$m=\frac{1}{\sqrt{2}},n\to \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^+$，就会有
\[\lim_{m=\frac{1}{\sqrt{2}},n\to \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^+}\frac{f(m)-f(n)}{m-n}=f'(\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}-a=2\sqrt{2}-3-\Delta a\]
按极限定义，对任意给定正数$\sigma$，总存在$n=\frac{1}{\sqrt{2}}+\Delta n, \Delta n>0$使得
\[|\frac{f(\frac{1}{\sqrt{2}})-f(\frac{1}{\sqrt{2}}+\Delta n)}{\Delta n}-f'(\frac{1}{\sqrt{2}})|<\sigma\]
那么当$\sigma=\Delta a$时自然也不例外，此时存在$n$使得
\[\frac{f(\frac{1}{\sqrt{2}})-f(n)}{\frac{1}{\sqrt{2}}-n}-(2\sqrt{2}-3-\Delta a)<\Delta a\]
\[\frac{f(\frac{1}{\sqrt{2}})-f(n)}{\frac{1}{\sqrt{2}}-n}<2\sqrt{2}-3\]