来自人教群：$a_{n+1}=\sqrt{S_n^2+S_n+1}$

kuing

鄂S爱好者 2020/3/22 13:04:57

那这个呢？

粤A爱好者战巡 2020/3/22 14:11:55



鄂S爱好者 2020/3/22 14:23:09
这题除了数形结合余弦定理，还有没有其它方法？

其实一般的 `a_{n+1}=\sqrt{S_n^2+AS_n+B}` 也可以玩儿……

平方有
\begin{align*}
a_{n+1}^2&=S_n^2+AS_n+B,\\
a_n^2&=S_{n-1}^2+AS_{n-1}+B,
\end{align*}相减有
\begin{align*}
a_{n+1}^2-a_n^2&=S_n^2-S_{n-1}^2+A(S_n-S_{n-1})\\
&=(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}+A)\\
&=a_n(2S_n-a_n+A),
\end{align*}即有
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}^2}{a_n}&=2S_n+A,\\
\frac{a_{n+2}^2}{a_{n+1}}&=2S_{n+1}+A,
\end{align*}相减有
\[\frac{a_{n+2}^2}{a_{n+1}}-\frac{a_{n+1}^2}{a_n}=2a_{n+1},\]即
\[\left( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \right)^2=\frac{a_{n+1}}{a_n}+2,\]这时有两种选择：

（1）令 `a_{n+1}/a_n=2\cos b_n`，则
\[\cos^2b_{n+1}=\frac{\cos b_n+1}2=\cos^2\frac{b_n}2;\]
（2）令 `a_{n+1}/a_n=b_n+1/b_n`，则
\[b_{n+1}^2+\frac1{b_{n+1}^2}=b_n+\frac1{b_n};\]
都可以往下撸，看情况用哪个，下略。

青青子衿

回复 1# kuing
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每日一题[496]一类递推数列的通项
发表于2016年5月29日由意琦行
lanqi.org/everyday/17887/

abababa

这种是不是跟变系数微分方程有点关系？可能只有一些特殊的情况才能解吧？

TTAANN001

感觉bn+12+bn+121=bn+bn1不好算啊

theonly

真好奇这道题会是哪里找的
。。。。另外几何解法真是相当漂亮