向量数量积的最小值

敬畏数学

$ A、B $分别为圆$ （x-1）^2+y^2=1,(x-2)^2+y^2=1 $上的两点，O为坐标原点，求$ \vv{OA}\cdot  \vv{OB} $的最小值。求几何法，坐标法已经搞定。

kuing

$ A、B $分别为圆$ （x-1）^2+y^2=1,(x-2)^2+y^2=1 $上的两点，O为坐标原点，求$ \vv{OA}\cdot  \vv{OB} $ 的最小值...
敬畏数学 发表于 2020-3-28 15:43

记两圆圆心分别为 `M`, `N`，取最小值时夹角必然是钝角且 $MA\px OB$ 且 $NB\px OA$，如下图所示，易知此时 `OB=ON=2`, `OA=1/2` 以及 $\vv{OA}\cdot\vv{OB}=-1/4$。

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$ A(1+\cos \alpha ,\sin \alpha ),B(2+\cos \beta ,\sin \beta ) $,
$\vv{OA}\cdot \vv{OB}=2+2\cos \alpha +(1+\cos \alpha )\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2+2\cos \alpha+\sqrt{2+2\cos \alpha }\sin (\beta +\varphi )$
$\geqslant 2+2\cos \alpha -\sqrt{2+2\cos \alpha }=(\sqrt{2+2\cos \alpha }-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geqslant- \frac{1}{4}$
等号成立略！
$ \vv{OA}\cdot \vv{OB}=\vv{OA}\cdot (\vv{ON}+\vv{NB})=|OA|^2+|OA||NB|\cos \alpha \geqslant |OA|^2-|OA|\geqslant -\dfrac{1}{4}$。等号成立略！