关于重心的问题

hbghlyj

对于三点A,B,C，存在点D，G为四点A,B,C,D的重心，满足
\[2AG=\sqrt[4]{(BC^2+CD^2+DB^2)^2-48 S_{\triangle BCD}^2}\]\[2BG=\sqrt[4]{(CD^2+DA^2+AC^2)^2-48 S_{\triangle ACD}^2}\]\[2CG=\sqrt[4]{(AB^2+BD^2+DA^2)^2-48 S_{\triangle ABD}^2}\]\[2DG=\sqrt[4]{(AB^2+BC^2+CA^2)^2-48 S_{\triangle ABC}^2}\]

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这样的点D存在两个，关于$\triangle ABC$的重心对称，如图中的四条曲线是交于两点的

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力工

回复 2# hbghlyj

大神厉害！这四个式子预计可以怎么应用？

hbghlyj

我发现（未证明）$D,E,X_2,X_{1340},X_{1349}$共线，其中$X_{1340}$是外接圆与布洛卡圆的内相似心，$X_{1349}$是外接圆与九点圆的外相似心。关于三角形特征点的介绍参见ETC

(图中的G是ABC的重心$X_2$，与1#2#用的符号不同，2#的G是ABCD的重心)
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hbghlyj

事实上,A,B,C,D或A,B,C,E是正四面体的四个顶点在平面上的投影.
我在Euclid小组上提问了.
César E. Lozada让我去读ETC的Tetrahedral projections: X(40236) - X(40296)部分,大概是说,

设ABC为平面XY上的三角形。考虑三个长度分别为U,V,W的线段AA',BB',CC'，每个线段有一个端点分别固定在A,B和C，另一个端点可以在空间中自由移动。假设这些线段围绕它们的固定端点旋转，使得它们的自由端点在点D处重合，并与ABC的三边一起形成四面体ABCD的六棱。令D为D在ABC平面上的正交投影。点D在这里被称为ABC的Tetrahedral projection(U,V,W)或ABC到A'B'C'的Tetrahedral projection.

后面,是A',B',C'取各种central triangle的列举.
但这个和我的问题有何联系呢?没懂
而且,这段话中用了两个D,代表不同的意思,似乎字母重复了.也不知道,这个是否为作者故意为之.