球的内接三棱锥已知对棱长度，求三棱锥体积的最大值

郝酒

三棱锥A-BCD内接于半径为$\sqrt{5}$的球O中，AB=CD=4,求三棱锥A-BCD体积的最大值
能把答案弄出来，但是不太严谨。
我记得原来许勇老师讲过一个立体几何的公式，还是有冠名呢，就是处理这类问题的。哪位大侠能提示下？谢谢！

kuing

对棱 `AB`, `CD` 所在直线的距离为 `d`，夹角为 `\alpha`，则
\[V_{ABCD}=\frac16\cdot AB\cdot CD\cdot d\cdot\sin\alpha.\]
推论：设 `M`, `N` 分别在 `AB`, `CD` 上，则
\[V_{ABCD}\leqslant \frac16\cdot AB\cdot CD\cdot MN.\]
回到原题：取 `M`, `N` 分别为 `AB`, `CD` 的中点，则
\[MN\leqslant OM+ON=\sqrt{R^2-\frac{AB^2}4}+\sqrt{R^2-\frac{CD^2}4}=2,\]所以
\[V_{ABCD}\leqslant\frac16\cdot AB\cdot CD\cdot MN\leqslant\frac16\cdot4\cdot4\cdot2,\]当 `AB\perp CD` 且 `MN` 过球心时取等。

郝酒

谢谢ku版，应该就是第一个公式的。搞定啦！

hbghlyj

回复 3# 郝酒
第一个公式补成平行六面体就出来吧

hbghlyj

衍生题
(2)三棱锥A-BCD的各面与一个半径为5–√5的球O相切，AB=CD=4,求三棱锥A-BCD体积的最大值
(3)三棱锥A-BCD的各棱与一个半径为5–√5的球O相切，AB=CD=4,求三棱锥A-BCD体积的最大值

其妙

三棱锥A-BCD内接于半径为$\sqrt{5}$的球O中，AB=CD=4,求三棱锥A-BCD体积的最大值
能把答案弄出来，但是不太 ...
郝酒 发表于 2020-4-5 22:37

感觉是哪一年的高考题

敬畏数学

猜得答案。严格证明难度大。

郝酒

回复 4# hbghlyj

不错，你这个简单。
其实只是看着可怕，画个图，做个线面垂直，倒一倒也能得到。不过没你这个简单。

郝酒

回复 6# 其妙

因为有10到19的分类汇编，没找到。
早些的自己暂时没有资源。
没人维护一个高考真题库吗？放在github上面。

kuing

回复 9# 郝酒

2010 全国卷 1 文/理数 12

郝酒

找到啦，这个应该是大纲卷吧。
浏览了下，感觉这些年高考题质量下降了，嗯。