求最大值的题目 应该有巧解吧

facebooker

已知正实数$a,b$满足：$2a^2+7ab+3b^2=7$,则$a+\sqrt{3ab}+2b$的最大值为___

kuing

\[2(2a^2+7ab+3b^2)-\bigl(a+\sqrt{3ab}+2b\bigr)^2=\bigl(\sqrt{3a}-\sqrt b\bigr)^2(a+2b)\]

chudengshuxue

回复 2# kuing


    这个太巨了!

其妙

已知$t \ge 0$，求证：\[4({t^2} + t + 1)({t^4} + {t^3} - {t^2} - t + 1) \ge {({t^3} - 2{t^2} - 3t + 1)^2}\]

其妙

感觉无关，但方法却可以相同！例如下面一道也是：
Let $a, b$ be real numbers such that $9 a^2+8 a b+7 b^2 \leq 6$. Prove that
\[
7 a+5 b+12 a b \leq 9
\]

kuing

其妙 发表于 2023-8-26 22:24
感觉无关，但方法却可以相同！例如下面一道也是：

你这道至少是二元条件不等式，和 1# 还有点像，放这里作为类似题没问题。
但 5# 的也差别太大了，有必要放在这里吗？哦你难道说凡是出现过 AAA - BBB = (XXX)^2... 的不等式题都算类似题？全都收集在这个帖子里可好？

O-17

其妙 发表于 2023-8-26 18:14
已知$t \ge 0$，求证：\[4({t^2} + t + 1)({t^4} + {t^3} - {t^2} - t + 1) \ge {({t^3} - 2{t^2} - 3t + 1 ...

既然还没有另外开新帖, 暂且在这里做一下 5# 的题, 只需注意到两边的差等于 $3(t^3+2t^2-t-1)^2$ 即可.

O-17

其妙 发表于 2023-8-26 22:24
感觉无关，但方法却可以相同！例如下面一道也是：

6# 则考虑证明
$$
9a^2+8ab+7b^2\leqslant6\Rightarrow (x+y)^2\leqslant1\Rightarrow 7a+5b+12ab\leqslant9
$$
即可.

jhsinutopia

这道题出自什么考试？