一道双变量函数问题

aishuxue

已知对任意的$a\in(0,+\infty)$, 都存在$b\in(0,+\infty)$, 使得$a\ln b+b-1-e^b-k\geqslant0$, 求$k$的取值范围.

kuing

令 `f(b)=a\ln b+b-1-e^b`，问题等价于求 `f(b)` 的最大值的最小值。

求导得 `f'(b)=a/b+1-e^b`，关于 `b` 递减，先正后负，所以当 `a/b=e^b-1` 时 `f(b)` 取最大值，此时，由 `\ln x\geqslant1-1/x`，得
\begin{align*}
f(b)&\geqslant\frac ab(b-1)+b-1-e^b\\
&=(e^b-1)(b-1)+b-1-e^b\\
&=(b-2)e^b\\
&\geqslant-e,
\end{align*}当 `b=1` 时取等，所以 `k\leqslant-e`。

敬畏数学

回复 2# kuing
f(b)的最大值应该是a的函数，但还是表示成b，最后放缩消去b，神招（b=1???）！

aishuxue

回复 2# kuing


    谢谢kuing

aishuxue

这题，我昨天夜里也想了想：
先对$a$取特殊值$e-1$，然后初步得到$k$的取值范围, 然后证明在$k$取这个范围时, 无论$a$是多少，这样的$b$总是存在的, 其实$b=1$就是要取得那个值！！！