求初等解法

guanmo1

战巡

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\[(2x+a)\ln(1+\frac{1}{x})>2\]
\[a>-2x+\frac{2}{\ln(1+\frac{1}{x})}\]
这里我们设法证明$\ln(1+\frac{1}{x})>\frac{2}{2x+1}$，这个很简单
\[\frac{d}{dx}\left(\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{2}{2x+1}\right)=-\frac{1}{x(x+1)(2x+1)^2}<0\]
故此
\[\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{2}{2x+1}>\lim_{x\to\infty}\left(\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{2}{2x+1}\right)=0\]
而后有
\[-2x+\frac{2}{\ln(1+\frac{1}{x})}<1\]
\[a\ge 1\]
这里要严谨的话必须验证$\lim_{x\to\infty}\left(-2x+\frac{2}{\ln(1+\frac{1}{x})}\right)=1$，但鉴于楼主非要要求什么初等做法，那只能拉倒，做不到！

kuing

取对数，作倒代换 `x\to1/x`，再去分母，不等式变成
\[(2+ax)\ln(1+x)>2x,\]令
\[f(x)=(2+ax)\ln(1+x)-2x,\quad x\geqslant0,\]求导
\[f'(x)=\frac{a(1+x)\ln(1+x)+ax-2x}{1+x},\]再令
\[g(x)=a(1+x)\ln(1+x)+ax-2x,\]再求导
\[g'(x)=a\ln(1+x)+2a-2,\]（1）若 `a\geqslant 1` 则显然对 `x>0` 恒有 `g'(x)>0`，然后 `g(0)=0`, `g(x)>0`, `f'(x)>0`, `f(0)=0`, `f(x)>0`，符合；

（2）若 `a\leqslant0` 则与（1）完全相反（不等式全反向），当然不符合；

（3）若 `0<a<1` 则
\[g'(x)<0\iff\ln(1+x)<\frac2a-2\iff x<e^{2/a-2}-1,\]由 `0<a<1` 知上式右边为正，即当 `x\in(0,e^{2/a-2}-1)` 时 `g'(x)<0`，所以在此区间上和（2）一样也不符合。

综上即得 `a\geqslant1` 就是所求范围。

theonly

标准初等过程

战巡

回复 4# theonly


动用导数就已经是高等了，别跟我说你们认为用导数是初等用极限却是高等