一道小三元代数最值

hbghlyj

a,b,c≥0,$(a-b)^{-2}+(b-c)^{-2}+(c-a)^{-2}=1$,求ab+2bc+3ca的取值范围

hbghlyj

设$a'=a-b,c'=c-b$,则$a'^{-2}+c'^{-2}+(a'-c')^{-2}=1$,容易得到4a'+5c'>0,
$ab+2bc+3ca=6b^2+(4a'+5c')b+3c'a'$是关于b的二次函数,对称轴<0,故b=0时取最小值,问题转化为
$a'^{-2}+c'^{-2}+(a'-c')^{-2}=1$,求3a'c'最小值
当$(a',c')=(\sqrt{5}-1,\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1)$时取最小值12

kuing

a,b,c≥0,$(a-b)^{-2}+(b-c)^{-2}+(c-a)^{-2}=1$,求ab+2bc+3ca的取值范围
hbghlyj 发表于 2020-4-13 10:53

如果 a,b,c 同时加上（减去）相同的一个正数，条件不变，而所求式递增（递减），因此显然可以无穷大，而最小值则必然有一个变量为零，哪个为零更小？显然是 c，接下来应该不难。

hbghlyj

回复 3# kuing
这样说是
当$(a,b,c)=(\sqrt{5}-1,\sqrt{5}+1,0)$或$(\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1,0)$时取最小值4？

hbghlyj

回复 2# hbghlyj
这个是典型错误做法了。当c'<0时取不到b=0，否则c<0。

kuing

回复 4# hbghlyj

嗯，`1/(a-b)^2+1/a^2+1/b^2-4/(ab)=(a^2-3ab+b^2)^2/(a^2b^2(a-b)^2)`

hbghlyj

\[\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{(a-b)^2}-1=\left(\frac{a(a-1)}{a^3b(b-a)}+ \frac1{a^2 b^2} + \frac1{a^2 (b - a)^2}\right)\left(\left(a-b+\frac12 ab\right)^2+\frac14ab(4-ab)\right)\]