数列+三角的综合小题

facebooker

$a_{1}\geqslant 0,a_{n+1}=\pi\sin a_{n}$,至多存在一个$k∈N^{+}$使得$\left(a_{k}-\frac{\pi}{2}\right)a_{k+1}>0,a_{8}=a_{10}$,求$\sin a_{2}\cdot\sin a_{4}$的最大值___

战巡

回复 1# facebooker


这还搞的什么最大值....干脆直接求所有可能值得了

首先$a_{n+1}=\pi\sin(a_n)$，说明当$n\ge 2$时，肯定有
\[a_{n}\in[-\pi,\pi]\]
而$(a_k-\frac{\pi}{2})a_{k+1}=(a_k-\frac{\pi}{2})\pi\sin(a_k)>0$只有一个$k$成立，意味着$a_n\ge 0$才行，因为这个玩意只要$a_k<0$就必然成立（注意这里没必要去考虑$a_k=-\pi$这样的极端情况，因为这样$a_{k+1}=0$了，后面全是$0$，没啥意思），而当$a_k<0$时，会有$a_k\in(-\pi,0)$，然后
\[a_{k+1}=\pi\sin(a_k)<0\]
结果完了，$a_{k+1}$也成立了，当然是不行的
如此也就推出$a_k\ge 0$对$k\ge 2$成立，或者说$a_k\in[0,\pi]$对$k\ge 2$成立，而在这个范围内$\sin(x)$是单调的，它会有$a_{k}=\arcsin(\frac{a_{k+1}}{\pi})$是唯一的，也就是数列本身是唯一的，任意给定一个$a_n$，$n\ge 2$，我都能给你推出除了$a_1$以外的其他所有项

而当$a_k\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时，这个也是不行的，很显然此时$(a_k-\frac{\pi}{2})\pi\sin(a_k)>0$也成立，因此$a_k\in[0,\frac{\pi}{2}$

好了，现在后面有一个叫做$a_8=a_{10}$，这样会有
\[a_8=\pi\sin(\pi\sin(a_8))=a_{10}\]
意味着$a_8,a_{10}$都是方程$x=\pi\sin(\pi\sin(x))$的其中一个解
这个东西在$[0,\frac{\pi}{2}]$里面有2个解，一个是$x=0$，一个是$1.091$左右，作为后面这个，会有
\[a_9=a_{11}=\pi\sin(1.091)=2.787>\frac{\pi}{2}\]
因此只能踢掉，唯一的可能是$a_8=a_{10}=0$

如此也就会有$a_n\equiv0$对$n\ge 2$成立，后面没必要说了吧

facebooker

出题人的解答是先确定$a_8=a_{10}=0$,然后假设$\sin a_4=1$,求出$\sin a_2=\dfrac{5}{6}$ 没看懂。

hbghlyj

回复 3# facebooker
其实2#已经把主体说清楚了。后面就是代入分类讨论了：
从$a_8=0$解出$\sin a_6=$0或1,若$\sin a_6=0$,又得出$a_4=$0或$\frac\pi2$或$π$;若$\sin a_6=1$,得$ a_4=\frac\pi6$或$\frac{5\pi}6$.
...综合各种情况,
$\sin a_2=\dfrac{5}{6},a_3=\dfrac{5\pi}{6},a_4=\dfrac{\pi}2$为最大