数列不等式

TTAANN001

求大佬指导

kuing

第一条递推式的分子是 `nb_{n+1}` 是吗？（因截图不全，我无法确定上面会不会还有指数）

TTAANN001

回复 2# kuing

是的

kuing

可能走了弯路：
令 `na_n=1/c_n`，则第一条递推变成 `b_{n+1}=c_n/c_{n+1}`，代入第二条就是
\[\frac{c_{n-1}}{c_n}=\frac{c_n}{c_{n+1}}\left( 1-\frac4{c_n^2} \right),\]去分母
\[c_{n-1}c_{n+1}=c_n^2-4,\]`n` 变 `n+1`
\[c_nc_{n+2}=c_{n+1}^2-4,\]相减
\[c_{n-1}c_{n+1}+c_{n+1}^2=c_nc_{n+2}+c_n^2,\]即
\[\frac{c_{n-1}+c_{n+1}}{c_n}=\frac{c_n+c_{n+2}}{c_{n+1}},\]然后……我不想算了，你来接力吧……

TTAANN001

回复 4# kuing
感谢ku版,但是这用特征根算出第一问，第二问就没有办法做下去了

kuing

回复 5# TTAANN001

你可能计算错了吧，不需要特征根啊……
算出 `c_1=1`, `c_2=3`, `c_3=5`，所以 `(c_n+c_{n+2})/c_{n+1}=(c_1+c_3)/c_2=2`，可见 `c_n` 是等差，得 `c_n=2n-1`。

TTAANN001

回复 6# kuing
恩，我算错了
(1)\begin{align*}
a_n=\frac{1}{n(2n+1)},b_n=\frac{2n-3}{2n-1},(n为正整数)
\end{align*}

TTAANN001

回复 7# TTAANN001
\begin{align*}
(\prod_{k=1}^n(1+ka_k))\sqrt{(\prod_{k=2}^{n+1}b_k)}=\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k-1}\sqrt{\frac{1}{2n+1}}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty  }\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k-1}\sqrt{\frac{1}{2n+1}}=0
\end{align*}\begin{align*}
m\leqslant 0
\end{align*}

kuing

回复 8# TTAANN001

？并不需要算极限啊，那个式子关于 n 是递增的，所以只需代 n=1 即可。
同时也可以看出你算那极限也不对，那极限是 `\sqrt{\pi/2}`，wallis 公式了解一下。

TTAANN001

回复 9# kuing
为什么是递增的?

kuing

回复 10# TTAANN001

令 f(n) = 那堆东西，然后算 f(n+1)/f(n) 就知道（分母用下均值……

TTAANN001

回复 11# kuing
还是ku版见多实广，我太菜了