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[几何] 根轴(等幂轴)

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hbghlyj posted 2020-4-22 23:26 |Read mode
Last edited by hbghlyj 2020-5-14 16:49关于两个圆的幂相等的点的轨迹
是一条直线(称为这两个圆的根轴).
两个同心圆的根轴定义为无穷远线.
顾名思义,圆$f_i=\alpha z\bar z+\bar\beta z+\beta \bar z+\gamma=0(i=1,2)$的根轴就是方程$f_1=f_2$的两个根$z_1,z_2$的连线。当$z_1=z_2$时,看作$z_1\to z_2$时的极限,在这个意义下定义仍成立。由于方程的两边是点到两个圆的幂,且$f_1=f_2$是一条直线,故根轴是到两圆的幂相等的点的轨迹,也称为等幂轴,特别地,$z_1,z_2$到两个圆的幂都等于0。从"等幂轴"的概念还能得到,根轴过四条公切线的中点。类似地,到两圆的幂之比为定值k的点的轨迹是圆$f_1=kf_2$,它也是过两圆的一个交点作直线与两圆的交点的连线的k比分点的轨迹,它经过四条公切线的$\sqrt k$比分点。

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original poster hbghlyj posted 2020-4-23 22:58
Last edited by hbghlyj 2020-4-26 13:31请先阅读3#再阅读2#
------------------
两圆的连心线在两圆上截得两条直径AC,BD,则$∡Az_iC=∡Bz_iD=-∡Bz_iD=90°(i=1,2)$。换一个角度,对于直线L上四点A,B,C,D,存在一点E使$\overline{EA}\cdot\overline{EC}=\overline{EB}\cdot\overline{ED}$,使$∡APC$与$∡BPD$相等、相反的点的轨迹是两个圆,这是因为,由分角定理$\frac{AP\sin∡APC}{BP\sin∡BPC}=\frac{AC}{BC}$,$\frac{AP\sin∡APD}{BP\sin∡BPD}=\frac{AD}{BD}$,两式相乘得$\frac{AP^2}{BP^2}=\frac{AC·AD}{BC·BD}$,所以$\frac{AP}{BP}=\pm\sqrt{\frac{AC·AD}{BC·BD}}$是定值,所以P的轨迹是两个圆。
两个圆都经过A,B,从而根轴过E.这是因为,$∡Az_iB=∡Az_iE-∡Bz_iE=∡z_iCE-∡z_iDE=∡Cz_iD(i=1,2)$.现在做一些计算:
如果L是x轴,四点的坐标为a,b,c,d,则从$(e-a)(e-c)=(e-b)(e-d)$解得E的坐标为$\frac{ac-bd}{a-b+c-d}=a-\frac{(a - b) (a - d)}{a-b+c-d}$.图中红圆的方程为$a b (c-d) - c d(a-b) + 2(ad-bc) x +(- a+b+c-d) (x² + y²) = 0$,绿圆的方程为$a b (c+d) -  c d (a+b)- 2(a b-cd) x  + (a+b-c-d) (x² + y²)  = 0$.当ABCD按全部6种顺序排列时,红圆和绿圆轮流扮演使$∡APC$与$∡BPD$相等、相反的点的轨迹的角色.
2.jpg 1.jpg 3.jpg 4.jpg 5.jpg 6.jpg
习题
1.从图中找出/构造一个调和点列
2.证明:当且仅当AC与BD交叉排列时,两个圆都是实的。
3.点A,B,C,P在圆O上,作点C关于AB的对称点C',E是$\triangle PBC'$的外心,求证:当点B运动时,E的轨迹是圆c。当P(或C)运动时证明圆c组成共轴圆系。
QQ图片20200423174357.jpg
QQ图片20200423174357.jpg
QQ图片20200423174357.jpg
大家来做这道题吧!我这边没有完善的解答的...
______________
进一步探索:
当点A运动时,c的区域如下(不是共轴圆系)
QQ图片20200423174357.jpg
点P不在圆O上时曲线如果有一个自交点,则为定点。

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original poster hbghlyj posted 2020-4-26 10:22
Last edited by hbghlyj 2020-4-26 14:50S是圆的集合,S中的任意圆对的根轴都是ε,则S称为"共轴圆束"或"共轴圆组"
第一种.双曲线型.S是经过A,B的圆的集合,ε是直线AB.S中所有圆的中心的集合是线段AB的中垂线,称为S的"中心线".S中最小的圆是以AB为直径的圆,S中没有最大的圆,当半径增大时,两侧的圆都趋于ε,将其视为S的退化元素,半径为∞.
欧拉判别法.png
第二种.椭圆型.S中的圆没有公共点.S是线段AB的阿氏圆的集合.根据定义,S中一个圆κ满足X∈κ⇔XA/XB=k,k是常数。ε是线段AB的中垂线,“中心线”是直线AB.点A,B称为S的“极限点”,将其视为S的退化元素,半径为0.S中没有最大的圆,当半径增大时,两侧的圆都趋于ε,将其视为S的退化元素,半径为∞.
可以用下面的定理来判定C中的圆κ:
定理1.椭圆型圆束的极限点A,B关于C的每个圆κ对称,它们也关于κ与中心线的交点U,V调和共轭。反过来,以每一对AB的调和分割点为直径作的圆在C中。
欧拉判别法.png
第三种.抛物线型.在前两种圆束中,当A,B重合时,S是与ε相切于A的所有圆的集合.此时最小的圆的半径为0.
欧拉判别法.png

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original poster hbghlyj posted 2020-4-26 16:05
下面的命题可用几何或解析的方法推导出
命题1.任意圆μ(N,r)和不经过N的任意直线ε能确定唯一的圆束。
命题2.以任意两个不同的点A,B为基点能确定唯一的双曲线型圆束$S_1$.以任意两个不同的点A,B为极限点能确定唯一的椭圆型圆束$S_2$.
命题3.任意圆或直线ε和点A能确定唯一的椭圆型或抛物线型圆束.
命题4.每一对非同心圆都确定了一个圆束.
欧拉判别法.png
前一个命题是这样的:给定一个由点、直线或圆组成的对(α,β),定义一个包含它们的圆束,我们说它是由这两条线“生成”的。
命题5.给定一束圆,对于平面的每个X点,恰好存在一个穿过它的铅笔构件k。提议6。给定不属于铅笔且其中心不在铅笔中心线的圆和圆k,两个圆(k,μ)的根轴(其中μ是属于铅笔的圆)穿过铅笔根轴的固定点(见图4)。命题7。给定{k(A,α),λ(B,β)},相对于这两个圆的幂比为常数的点X的几何交点是一个圆μ,它属于由{k,λ}定义的铅笔。提议8。圆μ属于铅笔P,铅笔P是由与圆{k,λ}相对的X的每个角X的每个角X的圆{k,λ}if和onlyif产生的。

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original poster hbghlyj posted 2020-5-11 14:14
$S_1,S_2$为圆$O_1,O_2$的外,内位似心,P为$O_1,O_2$中点,A,B为外,内公切线中点,以$PS_1,PS_2$为直径作圆$M_1,M_2$,则A在圆$M_1$上,B在圆$M_2$上。AB为根轴,交$O_1O_2$于S。
等面三面角.gif
下面作一些计算。$P=0,O_1=-1,O_2=1,S_1=\frac{r_1+r_2}{r_1-r_2},S_2=\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2},M_1=\frac{r_1+r_2}{2(r_1-r_2)},M_2=\frac{r_1-r_2}{2(r_1+r_2)},S=\frac{r_1^2-r_2^2}4$
所以$\frac{SP}{S_2P}=\left(\frac{r_1+r_2}{O_1O_2}\right)^2$

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