一道有关数学期望题目

dahool

有$2019$个人，每个人从集合$\{1,2,\cdots,2019\}$中等概率的挑选一个数，这些数为$a_1,a_2,\cdots,a_{2019}$，令$A$为这些数构成的集合，例如：$a_1=a_2=\cdots=a_{2018}=1,a_{2019}=2$，则$A=\{1,2\}$，求集合$A$的元素个数的数学期望.

战巡

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如果令$N$为集合总数（这里$N=2019$，但我们可以探寻更一般的情况），然后令$m_n$为第$n$个人挑选完后构成的集合元素个数

显然有$m_1=1$, $P(m_2=1)=\frac{1}{N}, P(m_2=2)=\frac{N-1}{N}$，然后当给定了$m_n$以后，会有
\[P(m_{n+1}=m_n|m_n)=\frac{m_n}{N}\]
\[P(m_{n+1}=m_n+1|m_n)=\frac{N-m_n}{N}\]
而后
\[E[m_{n+1}|m_n]=P(m_{n+1}=m_n|m_n)m_n+P(m_{n+1}=m_n+1|m_n)(m_n+1)\]
\[=\frac{m_n^2}{N}+\frac{N-m_n}{N}(m_n+1)=1+m_n(1-\frac{1}{N})\]
也就是
\[E[m_{n+1}]=E[E[m_{n+1}|m_n]]=E[1+m_n(1-\frac{1}{n})]=1+(1-\frac{1}{N})E[m_{n}]\]
然后就有
\[E[m_n]=N-N\left(\frac{N-1}{N}\right)^n\]
当$n=N=2019$
\[E[m_{2019}]=2019-2019\left(\frac{2018}{2019}\right)^{2019}\]

dahool

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  验证了一下N=n=3的时候，貌似这个计算的式子不对

dahool

验证了n=3,4的时候
推测N=n时的式子为$\frac{n[n^n-(n-1)^n]}{n^n}$

dahool

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这个式子可以有很多种变形，但是没理解好怎么直接与数学期望联系起来

战巡

回复 3# dahool


已经改了，前面一个输入错误导致后面算错

dahool

回复 6# 战巡


十分感谢！