请教$A$是闭集当且仅当$A$中的收敛点列收敛到$A$中。

abababa

如题。设$\{x_n\}$是$A$中任意一个收敛点列，$\{x_n\}$收敛到$a$，求证$A$是闭集当且仅当$a \in A$。
充分性我证明完了，必要性我没证明出来，请问应该怎么证明？
必要性就是：已知对任意一个收敛点列$\{x_n\}\subset A$都有$\lim_{n\to\infty}x_n=a\in A$，求证$A$是闭集。

下面是一些定义：
闭集定义为：开集对全空间的补集。
开集定义为：对任意的$x \in A$，$x$都是$A$的内点，则称$A$是开集。
内点定义为：对全空间中的集合$A$，若存在开圆$B(a,r) \subset A$，则$a$是$A$的内点。
开圆定义为：集合$B(a,r)=\{x属于全空间: |x-a|<r\}$，称$B(a,r)$为开圆。

我已经证明的可能有用的结论有：
$A$是闭集当且仅当$A=\overline{A}$，其中$\overline{A}$是$A$的闭包。
闭包定义为：$A$的全体接触点构成的集合。
接触点定义为：设集合$A$和点$x$都属于全空间，若对任意的$\varepsilon>0$，都有$B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing$，则点$x$称为$A$的接触点。

业余的业余

比较笨的一个想法

所求$\iff A=\bar{A}\iff A 的所有接触点  \in A \iff 不存在A的接触点 \notin A$

反证法，假定存在 $A$ 的接触点 $x$ 不属于 $A$, 由接触点的定义，显然可构造一个$A$ 中的点列，使其到 $x$ 的距离趋于0. 或用术语说，这些点包含在半径越来越小的开圆之中。也就是说 $x$ 可表示为 $A$ 中点列的极限， 故$x$ 属于 $A$. 矛盾。假设不成立，所求得证。

abababa

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谢谢，这个意思我能明白，具体证明的时候，我觉得自己有些逻辑顺序上还有问题。下面是我重新整理的思路，觉得还是$x_{\frac{1}{\varepsilon}}$对应到$x_n$这里没说清。

假设存在一点$a \in \overline{A}$但$a \not\in A$，由于$a \in \overline{A}$，由闭包的定义知$a$是$A$的接触点，由接触点的定义知对任意的$\varepsilon > 0$都存在$B(a,\varepsilon) \cap A \neq \varnothing$，不妨设$x_{\frac{1}{\varepsilon}} \in B(a,\varepsilon) \cap A$。令$\varepsilon = \frac{1}{n}$，于是当$n \to \infty$时序列$x_n \in B(a,\frac{1}{n}) \cap A$。而$n \to \infty$时$\abs{x_n-a} < \frac{1}{n} \to 0$，因此序列$x_n$收敛到$a$，于是存在一个$A$中的收敛序列$\{x_n\}$且$\lim_{n \to \infty}x_n = a \not\in A$，这与对任意一个收敛点列$\{x_n\} \subset A$都有$\lim_{n \to \infty}x_n = a \in A$矛盾，因此对任意的$a \in \overline{A}$都有$a \in A$，即$\overline{A} \subset A$，而由闭包的定义显然有$A \subset \overline{A}$，因此$A = \overline{A}$，由已经证得的命题知$A$是闭集。

业余的业余

表达得很清晰了啊。也可以这样构造点列：

定义系列的开圆 $B_n=B(a,\frac 1{2^n})$, 不妨说从$n=i (i\in \mathbb{N}^*)$ 开始 $A\cap B_i\ne \varnothing$, 把 $B_i, B_{i+1}, \cdots$ 称为 $C_1, C_2, \cdots$, 称 $C_i\backslash C_{i+1}$ 为 $D_i$, 显然 所有的 $D_i$ 非空，且 disjoint, 且 $D_i \subset A$. 从$D_i$中相继取出 $x_i (x_i\in D_i)$ 构造点列 $\{x_i\}$, 显然 $x_i\in A$ 且$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = a$



隐含使用了选择公理，不知道有没有更直接的、绕过选择公理的证法。

abababa

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谢谢，网友给我讲过这是一个拓扑性质，其实不需要用到距离的概念，不过暂时还没往那方面看。我看的复变函数，里面有一章介绍了一些点集的概念，想着把这些都证明一下，有些对我来说还是难度很大。
这里就是$x_{1/\varepsilon}$这个取法，刚开始取的是$x_{\varepsilon}$，然后令$\varepsilon=\frac{1}{n}$，但这时$x_{\varepsilon}$不就变成$x_{\frac{1}{n}}$了吗，觉得和$x_n$对应不起来。后来意识到$x_{\frac{1}{n}}$其实也是一个序列。

业余的业余

谢谢分享，向你学习。复变的教材我下了好几本，暂时还不敢下牙齿 :)

PS: 用了开圆的概念其实就变相地定义了距离吧？空间两点 $x,y$, 如果存在非负数 $d$ 使得 $y\in B(x,d)$ 且 $\forall s\big( s>d\implies y\notin B(x,s)\big)$ 就可定义 $D_{xy}=d$。

abababa

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但是可以不定义开圆，而只定义邻域：对点$a$存在一个集合$B$，使得$a \in B \subset \Omega$，其中$\Omega$是拓扑，就能避免距离的使用。或者直接从拓扑的定义，先定义出开集，再从开集定义邻域。不过这些我都只听网友讲过，暂时没什么兴趣和精力学。

zhcosin

这个不难啊，先厘清几个定义:
内点: 若集合中某点的充分小空心邻域内的点都属于该集合，则该点为此集合内点.
界点: 若某点的任意小空心邻域内都同时拥有属于和不属于某集合的点，则该点为此集合的一个界点.
外点: 对于不属于集合的某点，若它的充分小空心邻域内的点都不属于该集合，则该点为此集合的外点。
而闭集就是所有界点都都属于集合本身的集合。
有了这几个定义，剩下的事情就好办了，现在证明:
某集合为闭集的充分必要条件是该集合中的所有收敛点列均收敛于集合中的点。
充分性: 假如某集合中的所有点列均收敛到集合中的点，如果该集合还不是闭集的话，那一定存在它的某个界点不属于它，按照界点定义，可以构造出集合中的一个点列，收敛到该界点，于是与条件矛盾，所以只能是闭集.
必要性: 对于集合中任意一个收敛点列，它的收敛点显然不可能是该集合的外点，只能是内点或界点，而按照闭集定义它也一定属于该集合。
证毕。

hbghlyj

A2-metricspaces.pdf page 36 of 68

COROLLARY 5.1.5. Let $X$ be a metric space, and let $S \subseteq X$ be a subset. Let $a \in X$. Then a lies in the closure $\bar{S}$ if and only if there is a sequence $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ of elements of $S$ with $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$. In particular, $S$ is closed if and only if the limit of every convergent sequence $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ of elements of $S$ lies in $S$.

Proof. We use Lemma 5.1.4. Suppose that $a \in \bar{S}$. Then by Lemma 5.1.4 every ball $B(a, 1 / n)$ contains a point of $S$, so we may pick a sequence $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ with $x_{n} \in B(a, 1 / n) \cap S$. Clearly $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$.

Conversely, suppose $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$, where $x_{n} \in S$. If $a \notin \bar{S}$ then by Lemma 5.1.4 there must be some ball $B(a, \varepsilon)$ not meeting $S$. But if $n$ is large enough then $d\left(x_{n}, a\right)<\varepsilon$, and so $x_{n} \in S \cap B(a, \varepsilon)$, contradiction.   $\square$

Czhang271828

abababa 发表于 2020-5-3 11:51
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谢谢，网友给我讲过这是一个拓扑性质，其实不需要用到距离的概念，不过暂时还没往那 ...

序列有时无法刻画一般拓扑空间, 不过拓扑基至多可数时 (例如度量空间) 可以用序列刻画闭集性质. 例如例子中 $(A,\tau)$ 中任意收敛序列一定为某项开始为常数之数列, 因此 $(X,\tau)$ 每一集合都是闭集; 这与 $X$ 非离散拓扑矛盾.

个人建议: 除非系统地学习抽象分析理论, 暂时不要把与序列相关的概念延申到一般拓扑空间中. 例子表明 $1\Rightarrow 2$ 但 $2\not\Rightarrow 1$, 其中

• 开集的原像是开集,
• 连续序列的像为连续序列.