极值大小估计

aishuxue

求证：函数$f(x)=e^x+\sin x$在$(-\pi,0)$上存在唯一的极小值点$x_0$, 并证明$f(x_0)<0$

kuing

没啥难度啊
`f'(x)=e^x+\cos x`, `f''(x)=e^x-\sin x`，在 `(-\pi,0)` 上显然恒有 `f''(x)>0`，即 `f'(x)` 单增，而 `f'(-\pi)=e^{-\pi}-1<0`, `f'(0)=2`，所以在 `(-\pi,0)` 上存在唯一的 `x_0` 使 `f'(x_0)=0` 且为极小值点。
然后由 `e^{x_0}+\cos x_0=0` 得 `f(x_0)=e^{x_0}+\sin x_0=-\cos x_0+\sin x_0`，故要证 `f(x_0)<0` 即证 `x_0>-3\pi/4`，再由 `f'(x)` 单增，只需证 `f'(-3\pi/4)<0`，即证 `e^{-3\pi/4}-1/\sqrt2<0`，即证 `e^{-3\pi/2}<1/2`，显然地 `e^{-3\pi /2}<1/e<1/2`，即得证。

aishuxue

谢谢Kuing