抛物线与圆

lemondian

kuing

一、S 不是取决于 r 吗？为什么不是 S(r) 而是 S(x)？
二、“过交点的直线围成的封闭图形”该怎么理解？像图1那样的话，应该还要把 DA 和 CB 延长交于 E，该封闭图形是 `\triangle CDE`，而不是四边形 ABCD？

lemondian

回复 2# kuing
不清楚呀，这是“数学通报”的问题，原题截下来的。

郝酒

我来解一下，一二问应该是S(r)吧。感觉这资料很详实，2537啦，多功能题典吗？
联立方程消元得 $x^2-7x+16-r^2=0$，德尔塔为$4r^2-15>0$，
韦达一用$x_1+x_2=7,x_1x_2=16-r^2>0$
$S(r)=\frac{1}{2}(2\sqrt{x_1}+2\sqrt{x_2})\left|x_2-x_1\right|$
化简后得$S(r)=(7+2\sqrt{16-r^2})\sqrt{7-2\sqrt{16-r^2}}$
换元$s=\sqrt{16-r^2}\in\left[0,\frac{7}{2}\right)$
得$y=(7+2s)\sqrt{7-2s}$再换一次$u=\sqrt{7-2s}\in \left(0,\sqrt{7} \right]$，$y=(14-u^2)u$，$u=\sqrt{\frac{14}{3}}$时最大.此时$r^2=16-\frac{49}{36}$
用AC与x轴交点算P点坐标：$y-\sqrt{x_1}=\frac{1}{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}(x-x_1)$,令$y=0$得$x_P=\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{16-r^2}=\frac{7}{6}$，没太懂几何性是啥。