求证三个等式

lemondian

试证明三个等式：
（1）设$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n),a_1,a_2,\cdots ,a_n\inR$且两两不相等，$n\inN且n\geqslant 3$,证明：\[  \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{f'(a_i)}=0\]
（2）设$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n),a_1,a_2,\cdots ,a_n\inR$且两两不相等，$n\inN且n\geqslant 2$,证明：\[  \sum_{i=1}^n\frac{1}{f'(a_i)}=0\]
（3）设$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n),a_1,a_2,\cdots ,a_n\inR$且两两不相等，$n\inN且n\geqslant 2，k\inN$,证明：\[  \sum_{i=1}^n\frac{a_{i}^{k}}{f'(a_i)}=0\]

kuing

第（1）（2）问见《撸题集》P.912 题目 6.8.12；

第（3）问是你自己加的吧？如果是，那我建议你写上“猜想”，而不是“证明”，小心坑人。

事实上（3）需要 `k\leqslant n-2` 才成立，大于就不是了，比如 `k=n-1` 时会 `=1`（证法与《撸题集》里一样），`k=n` 时为 `a_i` 之和（证法将与《撸题集》有点差别）等等……

tommywong

我哩度有$k\ge n$

artofproblemsolving.com/community/u345311h1987134p14044769

$\displaystyle S_N=\sum_{i=1}^m x_i^N \prod_{j=1\atop i\neq j}^m\frac{1}{x_i-x_j}=\begin{cases}0 & 0\le N\le m-2\\1 & N=m-1\\
\displaystyle
\boxed{\sum_{r_1 + 2r_2 + \cdots + nr_n = n \atop r_1\ge 0, \ldots, r_n\ge 0} (-1)^n \frac{(r_1 + r_2 + \cdots + r_n)!}{r_1!r_2! \cdots r_n!} \prod_{i=1}^n (-\sigma_i)^{r_i}} & N=n+m-1\ge m
\end{cases}$