一道立体几何

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分别过正方体ABCD-EFGH的六个面中每面的四个顶点作八个球，正方体的八个顶点每点处的三个球面另交于一点，则这八点A'B'C'D'E'F'G'H'共球

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2020-5-20 13:19 Upload

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由于A,B,A',B'为两球的公共点，所以ABA'B'共圆，同理BCB'C',CDC'D',DAD'A'共圆，对球ABCDA'B'C'D'作球极投影，用古镂钱定理，由ABCD共圆得出A'B'C'D'共圆，同理A'B'F'E',B'C'G'F',C'D'H'G',D'A'E'H',E'F'G'H'共圆，由于圆A'B'C'D'的中轴线和圆A'B'F'E'的中轴线都在A'B'的中垂面上，设它们交于O，OA'=OB'=OC'=OD'=OE'=OF'=r，由于OA'=OD'=OE'，所以O在圆A'D'E'H'的中轴线上，所以OH'=r，同理OG'=r，所以A'B'C'D'E'F'G'H'共球，球心为O.