到两定直线一定点的距离和最小的点

hejoseph

已知两定直线和一定点，求到这两条直线和定点的距离和最小的点。

郝酒

又来尝试回答何版的问题啦。
感觉也是个像阿氏问题的名题呢，不知历史研究如何，有无物理背景。
肯定要分类，平行时点在线间和线外。不平行分点在钝角里和点在锐角里，钝角里直接是交点，锐角里，点在一条的平行线上。
做实验的，好像不太对的。
期待解答。

hejoseph

直线平行或定点在直线上时比较简单。下面假定直线不平行，定点不在直线上。两相交直线分平面的区域成四个区域，设两定直线分别是 $l_1$、$l_2$，定点是 $P$，点 $P$ 到 $l_1$ 的距离是 $a$，点 $P$ 到 $l_2$ 的距离是 $b$，$a\leqslant b$，$l_1$、$l_2$ 交点是 $O$，含有定点 $P$ 的那个区域成角 $TOU$，$T$ 在 $l_1$ 上，$U$ 在 $l_2$ 上，那么：

当 $0^\circ<\angle TOU<60^\circ$ 时，所求点就是点 $P$。

当 $\angle TOU=60^\circ$ 时，设过点 $P$ 作 $\angle TOU$ 的角平分线 $t$，过点 $P$ 作 $t$ 的平行线与射线 $OT$ 交于点 $V$，所求的点是线段 $PV$ 上的任意点（含端点）。

当 $60^\circ<\angle TOU<90^\circ$ 时，设点 $P$ 关于 $OT$ 的对称点是 $P'$，点 $P'$ 到 $l_2$ 的垂足是 $Q'$。若点 $Q'$ 在射线 $OU$（不含端点 $O$）上，则 $P'Q'$ 与 $OT$ 的交点就是所求的点。若$Q'$ 在射线 $OU$ 的反向延长线上（含端点 $O$），所求的点就是点 $O$。

当 $\angle TOU=90^\circ$ 时，所求的点就是点 $O$。

当 $90^\circ<\angle TOU<180^\circ$ 时，设点 $P$ 到 $l_2$ 的垂足是 $Q$。若点 $Q$ 在射线 $OU$（含端点 $O$）上，所求的点就是点 $O$。若 $Q$ 在射线 $OU$ 的反向延长线上（不含端点 $O$），所求的点就是 $PQ$ 与 $OT$ 的交点。