来自人教群的三角形中分角证垂直

isee

等价于证CD⊥AB。。。。

isee

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题目：点$D$在三角形$ABC$内满足$\angle ABD=12^\circ$，$\angle DBC=54^\circ$，$\angle CAD=42^\circ$，$\angle DAB=6^\circ$，求证：$AC^2-BC^2=AD^2-BD^2\iff CD \perp AB$.


先看三倍角恒等式$\sin 3x=4\sin x\sin(60^\circ-x)\sin(60^\circ+x)$，此式的证明是容易的，全用角$x$表示即可。

再看个特殊值$\sin (18^\circ \times 3)=\cos(18^\circ \times 2)\Rightarrow \sin 18^\circ=(\sqrt 5-1)/4,\cos 36^\circ=1-2\sin^218^\circ=(\sqrt 5+1)/4$，于是$$\cos 36^\circ-\sin 18^\circ=\frac 12.$$



连接$CD$，记$\angle BCD=x$，由$AD$，$BD$，$CD$三线交一点，由 Ceva 定理角元形式（或者由正弦定理）得$$\frac{\sin 6^\circ}{\sin 42^\circ}\cdot \frac{\sin 54^\circ}{\sin 12^\circ}\cdot \frac{\sin (66^\circ-x)}{\sin x}=1,$$

下面证明，满足题设的$x=24^\circ$有且仅有此解。


显然单调函数$$y=\frac{\sin (66^\circ-x)}{\sin x}.$$

又$\sin18^\circ=4\sin 6^\circ\sin 54^\circ \sin 66^\circ$，只需要证：
\begin{align*}
\sin 12^\circ\sin 24^\circ&=\sin 6^\circ \sin 54^\circ\\[1em]
\iff 4\sin 12^\circ\sin 24^\circ\sin 66^\circ &=4\sin 6^\circ \sin 54^\circ\sin 66^\circ=\sin 18^\circ\\[1em]
\iff 2\sin 12^\circ\sin 48^\circ &=\sin 18^\circ\\[1em]
\iff -\cos 60^\circ+\cos 36^\circ &=\sin 18^\circ
\end{align*}

此式成立，证毕.




后记，写这个完全是想回顾一下含60度的三倍角公式，本以为直接用下三倍角就OK，没想到，积化和差后，成立与否并不明显，发现，必须求出18角的三角函数值来。
于是，就有以上的垂直证明，而那个定幂差，我在论坛某个帖里用向量证过，不过，不想找了，就这样吧。。。。

，，，，，

找到了
forum.php?mod=viewthread&tid=5609&ext … light=定幂差&page=2

26#有详述

isee

群里给出的另一种解答，这个三角化得比我好很多，先直接2倍角消。

kuing

总是希望图形可以有对称性，于是有了下面的证法……



将图形沿 `AB` 的中垂线作对称，变成如图所示，那么 `CD\perp AB\iff CC'=DD'`，由 $\angle DD'B=6\du$ 得 `DD'=BD`，所以等价于证 `BD=CC'`。

由正弦定理 $BD:BA=\sin6\du:\sin18\du$ 以及 $CC':BA=CC':CA=\sin18\du:\sin66\du$，所以等价于证 $\sin^218\du=\sin6\du\sin66\du$，积化和差化简后即证 $4\sin^218\du+2\sin18\du=1$，这由 $\sin18\du$ 的数值易知成立，即得证。

作了线结果还是上了三角唉真渣渣……你们看看能不能改进下变成纯几何……水饺先……

kuing

回复 5# kuing

错了错了，还是有问题，先屏蔽一下，看能不能修正