一个函数不等式证明：$e^x-x^2-2x$问题

力工

证明：$e^x-x^2-2x\geqslant 6-e^2(0\leqslant x\leqslant 2)$

kuing

没啥意思……随便证证……

由 `e^x\ge ex` 得 `e^{x/2}\ge ex/2`，当 `x` 非负时，可两边平方，得到 `e^x\ge e^2x^2/4`，于是只需证 `e^2x^2/4-x^2-2x-6+e^2>0`，易得 `\Delta=-e^4+10e^2-20`，由 `e>2.7` 可知为负，即得证。

isee

回复 3# kuing

厉害厉害，这个放缩不用到4次，直接完事儿

力工

回复 3# kuing
神，我画图了，知道这个不等式不紧，但证起来却很繁，所以向大神们求出手一助.
比如还有：$e^x-x^2-x≤e^2-6$，$x$的范围也是$[0,2]$，这个不等式稍好搞一点。
谢谢！

敬畏数学

$ f（x）=\dfrac{e^x}{x^2+2x+6-e^2} \geqslant 1$，显然在定义域为减函数。细节分母为零的地方讨论一下。

力工

回复 6# 敬畏数学
这做法也麻烦啊。首先要分正负，才对。