$(a^3+b^3+c^3)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)\ge3$

isee

深圳20200609二模不等式选讲

已知$a$，$b$，$c$为正实数，且满足$a+b+c=1$.
证明：
（1)$\abs{a-\frac 12}+\abs{b+c-1}\geqslant \frac 12$；

（2)$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2}\right)\geqslant 3$.

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相比论坛的不等式，这仅仅是入门级了。

(1)$$\abs{a-1/2}+\abs{b+c-1}\geqslant \abs{a+b+c-3/2}\geqslant 1/2.$$


但这个（2）我还是想了好几分钟，才有门路：

(2)$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2}\right)\geqslant 3abc(1/a^2+1/b^2+1/c^2)\geqslant 3\left(\frac {bc}a+\frac {ac}b+\frac {ab}c\right)\geqslant 3(a+b+c)=3.$$

还好的是$\mathrm\LaTeX$代码还记得，就是经常缺个字母~

这对文科生，还是难的，Q了下kuing，kuing回先$1/a^2+1/b^2+1/c^2\geqslant 1/ab+1/bc+1/ca$，再乘，嗯，果然顺些~

敬畏数学

权方和不等式一步即可。$ (a^3+b^3+c^3)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}) =(\dfrac{a^3}{1^2}+\dfrac{b^3}{1^2}+\dfrac{c^3}{1^2})(\dfrac{1^3}{a^2}+\dfrac{1^3}{b^2}+\dfrac{1^3}{c^2})\geqslant \dfrac{(a+b+c)^3}{(1+1+1)^2}\cdot \dfrac{(1+1+1)^3}{(a+b+c)^2}=3$