函数$f(x)=e^{ax-1}\cdot \cos x(a>0)$的单调性

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已知函数$f(x)=\mathrm e^{ax-1}\cdot \cos x(a>0)$。其中常数$\mathrm e\approx 2.71828\cdots $，是自然对数的底数)。

(1)若$a=\sqrt 3$，求$f(x)$在$\left( 0,\frac \pi 2 \right)$上的极大值点；

(2)

    (i)证明$f( x)$在$\left(0,a/\sqrt{1+a^2}\right)$上单调递增；

    (ii)求关于$x$的方程$f(x)=\mathrm e^{-\frac 1a}$在$\left[0,\frac \pi 2\right]$上的实数解的个数。





2020年6月深圳高三理科数学二模导数压轴题。

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解：
（1）$x=\pi/3$，过程略。

（2）这事实上是三角函数的单调性，这样混在一起，我还是第一次见。



$f(x)=\mathrm e^{ax-1}\cdot \cos x$，则，
$$f'(x)=\mathrm e^{ax-1}(a\cos x-\sin x)=0\Rightarrow \tan x=a>0.$$

$a>0$，而区间$\left(0,\frac a{\sqrt{a^2+1}}\right)\subseteq (0,1)\subseteq (0,\pi/2)$。

于是有且只有$x_0\in (0,1)$使得$f'(x_0)=0$成立，容易知道此时$f(x)$在$(0,x_0)$是单调递增的。

所以结论成立，因为此时$$\frac a{\sqrt{a^2+1}}=\sin x_0<x_0.$$


（3）不想写，进一步讨论此时的最大值，与所给数据之间的关系，免不了讨论。

敬畏数学

第三问太丑。