一道以笛卡尔卵形线为背景的最值

facebooker

已知$\sqrt{(x-1)^2+y^2}+2\sqrt{(x+1)^2+y^2}=6$求$x^2+y^2$的最大值与最小值。

色k

用中线长公式就行了吧，变成二次函数，变量范围用三边关系确定一下

hbghlyj

A(1,0),B(-1,0),PA+2PB=6,求$PO^2$的最值
由中线长公式,$PA^2+PB^2=2(PO^2+1)$,由柯西不等式$(PA^2+PB^2)(1^2+2^2)\ge(PA+2PB)^2,PA^2+PB^2\ge \frac{36}5,PO^2\ge\frac{13}5$
在△PAB中PA-PB>AB=2，$27(PA^2+PB^2)=7(PA+2PB)^2+24(PA-PB)^2-(2PA-5PB)^2，\therefore PO^2\le \frac12\frac{7·6^2+24·2^2}{27}-1=\frac{49}9$当P在AB延长线上取得最大值