一道数列不等式

hbghlyj

数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n}=a_{n-1}+a_{\lfloor \frac n2 \rfloor},$求证$\forall n\in\mathbf N_+,a_{2^n}>2^{\frac{(n+3)(n-1)}4}$

hbghlyj

先导一些$a_{2^n}$的表示，也许有用
$a_{2^n}=a_{2^n-1}+a_{2^{n-1}}=a_{2^n-1}+a_{2^{n-1}-1}+a_{2^{n-2}}=\cdots=a_{2^n-1}+a_{2^{n-1}-1}+\cdots+a_{2^2-1}+a_1+a_1$
这个跨步比较大，换成下面的可能会好一些
$a_{2^n}=a_{2^n-2}+a_{2^{n-1}-1}+a_{2^{n+1}}=a_{2^n-3}+2a_{2^{n-1}-1}+a_{2^{n-1}}=a_{2^{n-1}}+2a_{2^{n-1}-1}+2a_{2^{n-1}-2}+\cdots+a_2+2a_1+1+1$