求$\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{b^2}{12}+\dfrac{c^2}{27}$的最小值

MathLua

已知$0<a,b,c<2$,且$abc=(1-a)(2-b)(3-c)$,求$\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{b^2}{12}+\dfrac{c^2}{27}$的最小值.

kuing

显然 `a<1`，令 `a=1/(1+x)`, `b=2/(1+y)`, `c=3/(1+z)`, `x`, `y`, `z>0`，代入条件中得 `xyz=1`，且
\[\frac{a^2}3+\frac{b^2}{12}+\frac{c^2}{27}=\frac13\left( \frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}+\frac1{(1+z)^2} \right),\]因为
\[\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}-\frac1{1+xy}=\frac{(1-xy)^2+xy(x-y)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)},\]所以有
\begin{align*}
\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}&\geqslant\frac1{1+xy},\\
\frac1{(1+z)^2}+\frac14&\geqslant\frac1{1+z},
\end{align*}相加得
\[\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}+\frac1{(1+z)^2}\geqslant\frac1{1+xy}+\frac1{1+z}-\frac14=\frac34,\]所以原式 `\geqslant1/4`，当 `x=y=z=1` 即 `a=1/2`, `b=1`, `c=3/2` 时取等。

isee

回复 2# kuing

看到楼主的条件，我准备回，这条件太奇怪了，不过，回头一想，我本身就是个不等式外行，真正准备溜了。

结果刷新后，哇，你这个代换简直了，完成改头换面了，我看下去的勇气了。

第二个长式子，我通分后，化简分子后，$(1-xy)^2+xy(x-y)^2$的出现就好自然！

不过，这个配方自己绝对想不到，只能学习再学习了。

MathLua

学习了，这样好像跟前些年国家集训队的一道题类似

kuing

回复 4# MathLua

是的，当年那道题就是 `a`, `b`, `c`, `d>0`, `abcd=1`，证
\[\frac1{(1+a)^2}+\frac1{(1+b)^2}+\frac1{(1+c)^2}+\frac1{(1+d)^2}\geqslant1.\]证法就是 2# 那样子，我本来在 2# 想直接引用这道题，但又懒得查具体出处，干脆直接写证明还快点。