SOP5——$f\big(f(x)\big)=\frac12(x^2-x)f(x)+2-x$

业余的业余

函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足: 对任意 $x\in\mathbb{R},$ 均有\[ f\big(f(x)\big)=\cfrac 12(x^2-x)f(x)+2-x.\]求 $f(1)$ 的所有可能值。

tommywong

$\displaystyle f(f(x))=\frac{1}{2}(x^2-x)f(x)+2-x$
$f(f(1))=1$

$\displaystyle f(f(f(x)))=\frac{1}{2}f(x)(f(x)-1)f(f(x))+2-f(x)=f(\frac{1}{2}(x^2-x)f(x)+2-x)$
$\displaystyle \frac{1}{2}f(1)(f(1)-1)f(f(1))+2-f(1)=f(1)$
$[f(1)]^2-5f(1)+4=0$

nttz

回复 2# tommywong
这个步骤能不能详细点，都看不懂过程