SOP7——n 元分式不等式

业余的业余

证明：若 $a_i\geqslant 1, i=1,2,\cdots,n,$ 且 $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i=\cfrac {n(n+1)}2,$ 则\[\sum_{i,j=1}^n\cfrac{a_i^2a_j^2}{a_i+a_j-1}\geqslant n^3.\]

色k

柯西就行了吧，不过好像除了n=1外都取不了等，有没有抄错题？

业余的业余

确认了一下，题目确实是这样的。难度对你来说肯定偏低

kuing

记 `S=\sum_{i=1}^na_i`，有
\begin{align*}
\sum_{i,j=1}^na_ia_j&=S^2,\\
\sum_{i,j=1}^n(a_i+a_j-1)&=2nS-n^2,
\end{align*}故由 CS 有
\[\sum_{i,j=1}^n\frac{a_i^2a_j^2}{a_i+a_j-1}\geqslant\frac{S^4}{2nS-n^2},\]代入条件即 `S=n(n+1)/2`，右边就化为 `n\left(\frac{n+1}2\right)^4`，这比 `n^3` 大多了……

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