SOP15——三元不等式，条件 $a^3/b+b^3/c+c^3/a=3$

业余的业余

已知正实数 $a,b,c$ 满足 $\cfrac {a^3}b+\cfrac {b^3}c+\cfrac{c^3}a=3,$ 证明：\[12+3abc\geqslant 7(a+b+c)-2(a^2+b^2+c^2).\]

kuing

条件好吓人喔，然仅此而已……

由
\[(1+1+1)(b+c+a)\left( \frac{a^3}b+\frac{b^3}c+\frac{c^3}a \right)\geqslant(a+b+c)^3,\]得到
\[a+b+c\leqslant3.\]
记 `p=a+b+c`, `q=ab+bc+ca`, `r=abc`，原不等式即
\[12+3r\geqslant7p-2p^2+4q.\]
（1）若 `4q\leqslant p^2`，则
\[\text{右}\leqslant7p-p^2=12-(4-p)(3-p)\leqslant12<\text{左};\]
（2）若 `4q>p^2`，由 \schur 不等式有
\[r\geqslant\frac{4pq-p^3}9,\]于是只需证
\[12+\frac{4pq-p^3}3\geqslant7p-2p^2+4q,\]作差分解为
\[\frac13(3-p)(p^2-3p+12-4q)\geqslant0,\]而由 `p^2\geqslant3q` 得
\[p^2-3p+12-4q\geqslant-\frac13p^2-3p+12=\frac13(3-p)(p+12)\geqslant0,\]所以不等式成立。

业余的业余

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美丽！查了一下，SOP15目前还没有发布公众的解答，可能还是吓住了不少人。