2020年江苏卷第20题 是否存在三个不同的数列

isee

已知数列$\left| a_n\right|(n\in \mathrm N^*)$的首项$a_1=1$，前$n$项和为$S_n$，设$\lambda $与$k$是常数，若对一切正整数$n$，均有$S_{n+1}^{\frac 1k}-S_n^{\frac 1k}=\lambda a_{n+1}^{\frac 1k}$成立，则称此为$\lambda \sim k$数列。
（1）若等差数列$\left\{ a_n \right\}$是$\lambda \sim 1$数列，求$\lambda$的值：
（2）若数列$\left\{a_n \right\}$是$\frac{\sqrt 3}{3} \sim2$数列，且$a_n>0$，求数列$\{a_n \}$的通项公式：
（3）对于给定的$\lambda$，是否存在三个不同的数列$\{a_n\}$为$\lambda \sim 3$数列，且$a_n\ge 0$？若存在，求$\lambda $的取值范围；若不存在，说明理由。

色k

7号晚上有网友付费让我解这道题，原来是高考题……
不过你的下标好像输入错了吧……

isee

回复 2# 色k


对照网上文档修改了一下，不过，我没见到图片版，有出入以照片版为准

色k

回复 3# isee

网友当时发给我的也是录入版

色k

我犹豫了一下要不要把我那解答发上来，毕竟是网友付费让我写的……
不过……我估计他应该是急着要写试题解析，所以……买的是时效性，现在已经过了两天，发上来应该没关系了吧……
也正因为我觉得他是要得急，所以我用手写，难看屎了……也不知有没有错漏……

isee

回复 4# 色k


题目应该是准的了，转载新东方网的部分过程，作者不详

kuing

回复 6# isee

这个解法的（3）有问题，存在三个数列与那方程有三个不同实根是两码事……
况且，就算是按他的理解，也考虑不周全，因为 S(n+1)>=Sn，必须 pn>=1 呢，然而后面那个二次方程两根之积为 1，那么按他的理解就是不存在了

其实关键就在于，如果说 {an} 满足 (an-X)(an-Y)=0 对任意 n 成立（X≠Y），并不是说 {an} 要么全为 X 要么全为 Y，而是 {an} 的每一项可随意任取 X 或 Y，即有无穷个 {an} 。
看回第（3）问，由于 {an} 允许取 0，而 a(n+1)=0 一定满足递推式（正如他也推出必有 pn=1 这个解），所以可以往 {an} 中任意插入 0（除 a1 外），所以其实只要存在一个由第二项起不恒为零的 {an}，就存在无穷多个 {an}。

isee

回复 5# 色k


每个人处理（2）中含根式方式均不同，我因为不愿意平方，这样写：
\begin{align*}
\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}&=\frac 1{\sqrt 3}\sqrt{a_{n+1}}\\[1em]
\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}&=\frac 1{\sqrt 3}\sqrt{S_{n+1}-S_n}\\[1em]
\frac{\sqrt{S_{n+1}}}{\sqrt{S_{n+1}-S_n}}-\frac{\sqrt{S_n}}{\sqrt{S_{n+1}-S_n}}&=\frac 1{\sqrt 3}\\[1em]
\frac{1}{\sqrt{1-X}}&=\frac{1}{\sqrt{\frac 1X-1}}+\frac 1{\sqrt 3},X=\frac {S_n}{S_{n+1}}\\[1em]
\frac{1}{1-X}&=\frac{1}{\frac 1X-1}+\frac 1{3}+\frac 2{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac 1X-1}}\\[1em]
\frac{2}{3}&=\frac 2{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac 1X-1}}\\[1em]
\frac 1X-1&=3
\end{align*}   

下略

kuing

还是记录一下前段时间讨论组的一段聊天记录

生如夏花 15:10:29
第三问，怎么感觉是不存在？

kuing 15:14:56
[本帖链接]

生如夏花 15:22:13
卧槽  往里面任意插0  我说我怎么感觉没有三个解。。。
我怎么感觉这个出的有问题呢
他说有没有三个  结果可以无数个

kuing 15:27:24
那是你的问题

生如夏花 15:28:43
不不不，这出题的绝逼自己都没想明白

kuing 15:28:50
有是有，不是有且只有

生如夏花 15:29:44
我好奇，江苏这题去年是按什么答案批改的
学科网上是官方答案吗？
学科网上给的答案是pn＞0来解的，明明是pn大于等于1

生如夏花 15:36:21
第一次看到KK的手写字和我一样丑

kuing 15:36:58
我搜到一个这样的答案：

网址 gaokao.com/e/20200525/5ecb468a0330d_5.shtml

生如夏花 15:37:54
哦，你这个是对的答案。
我看到的，我说怎么看不懂，原来后面是瞎写的，怪不得

kuing 15:39:39
正常，一般网站想最快速度出答案，但水平跟不上，只有瞎写
我那帖子里的 6# 那个也是

kuing 15:45:14
话说我的第2问也漏了 n=1 得分开写……

生如夏花 15:50:13
这题，每一项往后写总有两种写法，故存在无数种数列，真的没想到，出题人真是这么设计题目的？我无语了

kuing 15:51:00
和我说的任意插入 0 是一样的
所以我说这不是出题的问题，是你的问题

生如夏花 15:53:48
脑子要时刻保持清醒

isee

我去找找实体书上的标准答案，先mark下，以免忘记了