2020年江苏卷第14题 圆中等腰三角形面积中最大值

isee

在平面直角坐标系$xOy$中，已知$P\left(\frac{\sqrt 3}2,0\right)$，$A$，$B$是圆$C:x^2+\left(y-\frac 12\right)^2=36$上的两个动点，满足$PA=PB$，则$\triangle PAB$面积的最大值是__________．

isee

容易上当的地方是误以为直角三角形时最大，平时见到的边是定值，这里不是。

个人iC的解法相当麻烦。

易知$\triangle ACP\cong \triangle BCP$，记$PA=x,\angle CPA=\theta\in(0,\pi/2)$。

在三角形$ACP$中，由余弦定理$$36=1+x^2-2x\cos\theta\Rightarrow {\color{red}t}=x^2-35=2x\cos \theta.$$

三角形$ABP$的面积
\begin{align*}
S&=\frac 12x^2\sin2\theta\\[1ex]
S^2&=x^4(1-\cos^2\theta)\cos^2\theta\\[1ex]
16S^2&=(4x^2-4x^2\cos^2\theta)\cdot 4x^2\cos^2\theta\\[1ex]
\Rightarrow 16S^2&=(4(t+35)-t^2)t^2
\end{align*}
至此，求导可得惟一的驻点$t=10$，于是$$S_{\max}=10\sqrt 5.$$

计算量可控，但超出预期……

kuing

记 `\angle ACB=2\alpha`，则 `S=R\sin\alpha(PC+R\cos\alpha)`，令 `t=\cos\alpha`, `u=PC/R`，即 `S^2=R^4(1-t^2)(u+t)^2`，然后就是常规的待定系数均值了，这里 `u=1/6`，有
\begin{align*}
(1-t^2)\left( \frac16+t \right)^2&=\frac1{20}(5-5t)(1+t)\left( \frac13+2t \right)\left( \frac13+2t \right)\\
&\leqslant\frac1{20}\left( \frac{5+1+1/3+1/3}4 \right)^4,
\end{align*}下略……