关于等角中心

hbghlyj

以三角形的边作等边三角形，再作其外接圆，每边有两个圆，一个是向内作的(内接120°)，一个是向外作的(内接60°)，三条边共有8个圆，那么三圆共点有多少呢？
情形1.∠C>120°.只有一个共点,是三个内接120°弧.任何内接60°弧没有共点
情形2.三个角均<120°.形内有一个共点,形外有一个共点.如果三角形仅有一个角>60°,形外所共的点在该角的对边(即最大边)内接的120°弧上.如果三角形有两个角>60°,这点在最小边内接的120°弧上.
三线坐标方法：
以BC向外作的等边三角形外接圆方程为\[(a\beta\gamma+b\gamma\alpha+c\alpha\beta)\sin60°-\gamma(a\alpha+b\beta+c\gamma)\sin(60°+A)=0\]向内作的圆方程为\[(a\beta\gamma+b\gamma\alpha+c\alpha\beta)\sin60°-\gamma(a\alpha+b\beta+c\gamma)\sin(60°-A)=0\]
容易得出，三个向外作的圆共点，三个向内作的圆共点，它们也是仅有的三圆共点

hbghlyj

垂三角形是等边三角形的点有两个,称为等力点.
等力点的第一种作法就是作费马点的等角共轭(导角易得它们是等角共轭).
这个作法是这帖的例子
第二种作法是以内、外角平分线足为直径两端作圆,三个圆共两个点,就是两个等力点.

证明：设DEF为等力点的垂三角形,EF=OAsinA=FD=OBsinB=DE=OCsinC,$\therefore OA:OB:OC=\frac1{\sin A}:\frac1{\sin B}:\frac1{\sin C}=\frac1a:\frac1b:\frac1c$.

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设等边三角形DEF的边长为l,用余弦定理,
$OE^2+OF^2+2OE·OF\cos A=l^2$
即$\beta^2+\gamma^2+2\beta\gamma\cos A=l^2(1)$
这是一个圆的方程
类似地,$\gamma^2+\alpha^2+2\gamma\alpha\cos B=l^2(2)$
$\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta\cos C=l^2(1)$
(1)-(2)得$\beta^2-\alpha^2+2\gamma(\beta\cos A-\alpha\cos B)=0(4)$
即$(b^2-c^2)(a\beta\gamma+b\gamma\alpha+c\alpha\beta)+a(a\alpha+b\beta+c\gamma)(c\beta-b\gamma)=0(5)$
圆(1)(2)(3)的根轴,即两个等力点连线(称为布洛卡轴)为$\sum bc(b^2-c^2)\alpha=0$
即$\sum\alpha\sin(B-C)=0$
圆(5)和ABC外接圆的根轴显然是$c\beta-b\gamma=0$,设它交AB于O,则$AO:OB=b^2:a^2,$故AO是三角形的一条类似中线.也可以通过几何方法计算AO和OB的长得到这一点.
作出布洛卡轴的简单的几何方法：
作$\angle ABQ=\angle ACQ=A,AQ$交BC于P,则P是布洛卡轴与BC的交点