三个旁心其中一个在公切边上的射影证垂直

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将2014年的陈帖《猜想圆与过焦点的直线相切（15楼结论，13楼遗留一题）》中 第13楼 的题单独提出来了，因为此仿照 hbghlyj 在28楼的证明是完全初等的，与原帖内容无关。



题目：如图，点$P$为三角形$ABC$边$BC$上的任一点，$I_1,I_2,I_A$分别为三角形$APC$，$ABP$，$ABC$的旁心，圆$I_A$切$BC$于$D$。
求证：$I_1D\perp I_2D$.

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回复 1# isee
从 hbghlyj 最近的由子可以看到其在研究竞赛数列，旁切圆是肯定要学的。
hbghlyj 在28#，29#，30#加了更多的内容，我们先忽略吧——包括28#的笔误。

十分感谢。。

证明，方法完全仿照 hbghlyj 的内切证明。

记$I_1$，$I_2$在BC边上的射影分别为$E$，$F$.

由外切，有
\begin{align*}
FD=BD-BF=&\frac {AC+BC-AB}2-\frac {AP+BP-AB}2\\[1ex]
&=\frac {AC+PC-AP}2\\[1ex]
&=PE\\[1ex]
\iff ED&=PF
\end{align*}

另一方面$\angle I_1PI_2=90^\circ$，于是
\begin{align*}
\triangle I_1EP \sim \triangle PFI_2&\Rightarrow \frac {I_1E}{PF}=\frac {EP}{I_2F}\\[1ex]
\frac {I_1E}{ED}&=\frac {FD}{I_2F}\\[1ex]
\Rightarrow Rt\triangle I_1ED &\sim Rt\triangle DFI_2\\[1ex]
\Rightarrow I_1D&\perp I_2D
\end{align*}

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原来这里2月份有讨论，难怪。
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