不等式 求最佳系数

facebooker

代码太难打了

懒 代码太难写了。

kuing

当 `x=y=z` 时有 `\alpha\leqslant3\leqslant\beta`，下面证明当 `\alpha=\beta=3` 时不等式成立。

右边太显然就不说了，只说左边：由均值有
\[M\geqslant3\sqrt[3]{(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)},\]
所以只需证
\[(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)\geqslant(xy+yz+zx)^3,\]
此乃老题，2008 年我写过一个数形结合的证明，见：user.qzone.qq.com/249533164/blog/1213268808

综上，`\alpha` 的最大值及 `\beta` 的最小值均为 `3`。

kuing

如今再看，2008 年那证法其实也无需分类，可以用向量统一起来……

设平面单位向量 `\bm i`, `\bm j`, `\bm k` 两两夹角 $120\du$，则 `\bm i+\bm j+\bm k=\bm 0`，令 $\vv{OA}=x\bm i$, $\vv{OB}=y\bm j$, $\vv{OC}=z\bm k$，则有 `AB^2=x^2+xy+y^2` 等，且
\begin{align*}
\S{ABC}&=\frac12\bigl|\vv{AB}\times\vv{AC}\bigr|\\
&=\frac12\abs{(y\bm j-x\bm i)\times(z\bm k-x\bm i)}\\
&=\frac12\bigl|\bigl((x+y)\bm j+x\bm k\bigr)\times\bigl((x+z)\bm k+x\bm j\bigr)\bigr|\\
&=\frac12\abs{(x+y)(x+z)\bm j\times\bm k+x^2\bm k\times\bm j}\\
&=\frac12\abs{(xy+yz+zx)\bm j\times\bm k},
\end{align*}
所以
\[
\abs{xy+yz+zx}=\frac{2\S{ABC}}{\abs{\bm j\times\bm k}}=\frac4{\sqrt3}\S{ABC},
\]
也就是无论正负如何，都有
\begin{align*}
\prod(x^2+xy+y^2)\geqslant\abs{xy+yz+zx}^3
&\iff AB^2\cdot BC^2\cdot CA^2\geqslant\frac{64}{3\sqrt3}\S{ABC}^3\\
&\iff\sin A\sin B\sin C\leqslant\frac{3\sqrt3}8.
\end{align*}