一道无穷级数不等式

hbghlyj

$\sum\limits_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2<\varepsilon,\sum\limits_{i=1}^\infty x_i^2<\varepsilon,$求证$\sum\limits_{i=1}^\infty y_i^2<\varepsilon$

战巡

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估计是错的

举个反例：$x_i=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{i}$，而$y_1=1$， $i>1$时则有$y_i=x_i$。

如果令$\epsilon=1.1$好了，那么有
\[\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2=(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)^2=0.086<1.1=\epsilon\]
\[\sum_{i=1}^\infty x_i^2=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}=1<\epsilon\]
但
\[\sum_{i=1}^\infty y_i^2=1+\sum_{i=2}^\infty\frac{1}{2^i}=1.5>\epsilon\]

血狼王

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最后那个应该是
$$\sum\limits_{i=1}^\infty y_i^2<4\varepsilon$$
由CS易证。