一个结论，求证明

TTAANN001

一个平面内有$n$条光滑的曲线，曲线有$m$个交点,且无三线共点的情况，则这个平面被分成$n+m+1$个部分

战巡

回复 1# TTAANN001


错的...

比如一个圆和一条直线，有两个交点，只能把平面分成4部分

TTAANN001

回复 2# 战巡
那如果光滑且不闭合呢?

kuing

回复 3# TTAANN001

那两条线段呢？

TTAANN001

回复 4# kuing

开始的说法的确有问题,这是完善后的说法:一个平面内有$n$条光滑的,不闭合的且可以无限延伸的曲线，曲线有$m$个交点,且无三线共点的情况，证明：这个平面被分成$n+m+1$个部分

战巡

回复 5# TTAANN001


还是错的...

考虑螺线即可，平面内只有一条螺线$\rho=a\theta$，此时$n=1,m=0$，这样一条线可以达到任意一个方向的无穷远处，自身不闭合，且光滑，但整个平面仍然是连通的，并没有被这条螺线分割成两部分

kuing

回复 6# 战巡

但是这条螺线有端点，然后他还会要求这条曲线不能有端点……

于是再改成 `\rho=a^\theta`, `a>0`, `a\ne1`, `\theta\in\mathbb R`……