一道丑陋的不等式

v6mm131

\[
\sqrt{a^4+7 a^3+a^2+7 a}+3 \sqrt{3} \sqrt{a}+a^2-10 a \geq 0(a \geq 0)
\]

kuing

通常这种问题我只想知道它有何背景

v6mm131

回复 2# kuing


    坐等kuing神解答

kuing

不知道背景就懒得想了，baoli掉算了。
约去 $\sqrt a$ 等价于
\[\sqrt{(a^2+1)(a+7)}+3\sqrt3+a\sqrt a-10\sqrt a\geqslant 0,\]
令 $a=x^2$, $3=y^2$，其中 $x$, $y>0$，则等价于证
\[\sqrt{\left(x^4+\frac19y^4\right)\left(x^2+\frac73y^2\right)} +y^3+x^3-\frac{10}3xy^2\geqslant 0,\]
如果 $x<1/2$，则 $\frac{10}3xy^2<\frac53y^2<\sqrt3y^2=y^3$，故此时上式显然成立；当 $x\geqslant1/2$ 时，要证上式只要证
\[\left(x^4+\frac19y^4\right)\left(x^2+\frac73y^2\right)\geqslant \left(y^3+x^3-\frac{10}3xy^2\right)^2,\]
展开因式分解等价于
\[\frac1{27}y^2(3x-2y)^2(27x^2+30xy-5y^2)\geqslant0,\]
由 $x\geqslant1/2$ 得 $27x^2+30xy-5y^2\geqslant27(1/2)^2+15y-5y^2=-33/4+15\sqrt3>0$，故此时不等式亦成立。

其妙

取等条件是什么

kuing

回复 5# 其妙

从最后一式不是可以看出来么