三角形边长与半径的一个不等式

guanmo1

△ABC中，求证：ab+bc+ca≤6R（R+r）.

kuing

\[ab+bc+ca\leqslant\frac13(a+b+c)^2=\frac43s^2\leqslant\frac43(4R^2+4Rr+3r^2)\leqslant6R(R+r).\]

guanmo1

回复 2# kuing


    倒数第二个不等号怎么来的？一

hbghlyj

回复 3# guanmo1
由欧拉-察柏尔定理,R≥2r,所以
$\frac43(4R^2+4Rr+3r^2)-6R(R+r)=\frac23 (R+ 3 r) (2 r - R)≤0$

kuing

回复 4# hbghlyj

他问的是这步的前一步就是那个 Gerretsen 不等式……

hbghlyj

回复 3# guanmo1
抱歉看错了,其实这贴总结有Gerretsen不等式

kuing

回复 6# hbghlyj

那帖太长，楼主估计会嫌弃，况且现在看起来感觉我当时的推导也有点麻烦，有空考虑重写……

guanmo1

回复 5# kuing


    对,后来查到了,叫Gerretsen不等式,不知道最早的出处哪里能查到.

guanmo1

回复 6# hbghlyj


    谢谢.

hbghlyj

回复  hbghlyj
有空考虑重写
kuing 发表于 2020-8-11 19:45

期待(☆▽☆)