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Last edited by hbghlyj 2020-8-10 00:16p(x)=x+1,q(x)=2x,显然任意$f(x)=2^nx+m(n,m\in\mathbf N)$可表示为p和q的有限次复合,例如$f=p^mq^n$,求f(x)的所有表示的数目
设f(x)的所有表示的数目为$x_{n,m}$,那么$x_{n,m}=x_{n,m-2}+x_{n-1,\lfloor\frac m2\rfloor}$,
所以$x_{n,m}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor\frac m2\rfloor}x_{n-1,i}$
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按n从小到大尝试：
$x_{0,m}=1$
$x_{1,m}=x_{0,m}+\lfloor\frac m2\rfloor$
$x_{2,m}=x_{1,m}+\left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor ^2}{4}\right\rfloor$
$x_{3,m}=x_{2,m}+\frac{84+12(-1)^m+6i((-i)^m-i^m)+(85+3(-1)^m)m+24m^2 +2m^3}{96}$
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$x_{2,m}$是A002620
$x_{3,m}$是A008804
$x_{3,m}-x_{2,m}=\left\{\begin{matrix}
0 & m<8\\
x_{3,m-7} &m\ge8
\end{matrix}\right.$ |
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