是否存在一个圆,使得三线共点

hbghlyj

给定A,B,C,求平面上的点P的集合,使得存在一个圆Q,与各边交于D,I;F,E;G,H,且DE,FG,HI共点于P

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设∠BAC=α,∠ACB=β,∠CBA=γ,有向弧DG,GH,HE,EF,FI,ID所对的有向圆周角为u,e,w,d,v,f,则
d=α+u-v-w
e=β+v-w-u
f=γ+w-u-v
$\sin u\sin v\sin w=\sin d\sin e\sin f$
令u,v为自由变量,解出w(无需使d,e,f全为正的).在一个固定圆上取固定的点D',然后按相应的弧度截取G',H',E',F',I',得到一个P',在△ABC中作出相似对应的P,令u,v变化,追踪P.

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据观察w可能有0到10个有效的解,把三个解得出的点P集合叠加得

虽然图中有空白,但是据推测点P的集合是全平面
比如在空白区域取一个点
A:(14.3,7.1)
B:(12.4,3.2)
C:(18.2,2.9)
$P_0$:(21.9, 6.9)
时想要作出相应的圆

$P_0$到三边的距离之比为4.18578:5.43314:6.91992
且$P_0$在∠ABC内部,画一个草图

利用一个定理：
P到AC,BC的距离之比为$\abs{\dfrac{\sin u \sin (d+w)}{\sin d\sin (f+v)}}$
得到求解方法：

1. FindRoot[\left\{\sin (u) \sin (v) \sin (w)=\sin (d) \sin (e) \sin (f),\frac{\sin (u) \sin (d+w)}{\sin (d) \sin (f+v)}=-\frac{5.43314}{4.18578},\frac{\sin (v) \sin (e+u)}{\sin (e) \sin (d+w)}=-\frac{6.91992}{5.43314}\right\}, {{u, 2.69}, {v, 1.77}, {w, 1.2153}}]

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得到
{u -> 2.6476, v -> 1.75186, w -> 1.37745}
最后算出(近似值)圆心(10.61,7.43),半径5.5
拍照留念：

(经验：取u,v,w的初始值时可以按照草图的度量值来取)
(这可能不是唯一的圆,因为我用的是findroot函数,没有把所有解求出来)
于是更加确定：点P的集合应该是全平面
再抛出一个问题：这种圆的半径最小值是在哪里取到？