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命题：记
\begin{align*}
A={}&ax(b-c)(y-z)(a-b-c)(x-y-z)+by(c-a)(z-x)(b-c-a)(y-z-x)\\
&+cz(a-b)(x-y)(c-a-b)(z-x-y),\\
B={}&bycz(b-c)(y-z)+czax(c-a)(z-x)+axby(a-b)(x-y),\\
C={}&(a-b)(b-c)(c-a)(x-y)(y-z)(z-x),
\end{align*}则有恒等式
\[A=B+C.\]
证明：当 `a=b` 时，有
\begin{align*}
A&=bx(b-c)(y-z)(-c)(x-y-z)+by(c-b)(z-x)(-c)(y-z-x),\\
B&=bycz(b-c)(y-z)+czbx(c-b)(z-x),
\end{align*}此时
\begin{align*}
A-B&=\bigl(-x(x-y-z)-yz\bigr)bc(b-c)(y-z)+\bigl(-y(y-z-x)-zx\bigr)bc(c-b)(z-x)\\
&=(x-y)(z-x)bc(b-c)(y-z)+(y-z)(x-y)bc(c-b)(z-x)\\
&=0,
\end{align*}同理，当 `b=c` 或 `c=a` 或 `x=y` 或 `y=z` 或 `z=x` 时均有 `A-B=0`，而 `A-B` 是六次，所以必有
\[A-B=kC,\]随便取一组使 `C` 不为零的数值可算出 `k=1`，命题得证。
特别地，当 `a`, `b`, `c` 为复数，且 `x`, `y`, `z` 分别为 `a`, `b`, `c` 的共轭复数时，恒等式变成
\[
\sum\abs a^2\abs{b-c}^2\abs{a-b-c}^2
=\sum\abs b^2\abs c^2\abs{b-c}^2
+\prod\abs{a-b}^2,
\]不难证明
\[
\abs{a-b-c}^2=-\abs a^2+\abs b^2+\abs c^2-\abs{b-c}^2+\abs{c-a}^2+\abs{a-b}^2,
\]由此得到：
推论：设 `a`, `b`, `c` 为复数，记 `p=b-c`, `q=c-a`, `r=a-b`，则有
\begin{align*}
&\abs a^2\abs p^2(-\abs a^2+\abs b^2+\abs c^2-\abs p^2+\abs q^2+\abs r^2)\\
&+\abs b^2\abs q^2(\abs a^2-\abs b^2+\abs c^2+\abs p^2-\abs q^2+\abs r^2)\\
&+\abs c^2\abs r^2(\abs a^2+\abs b^2-\abs c^2+\abs p^2+\abs q^2-\abs r^2)\\
={}&\abs b^2\abs c^2\abs p^2+\abs c^2\abs a^2\abs q^2+\abs a^2\abs b^2\abs r^2+\abs p^2\abs q^2\abs r^2.
\end{align*} |
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