函数不等式 有点小紧 怎么放缩好呢？

facebooker

$Pro:e^{x}+\ln\left(x+1\right)-x^{2}-2x>0,x>0$

走走看看

回复 1# facebooker

紧的话，用锯子把它锯开一点就好了。

$这个题，高考不会考的吧，因为不借助数学工具不知道e^{e-1}是多大的值。$

$可令g(x)=f(x-1)=e^{x-1}+lnx-x^2+1,x>1$

$通过求导方式解决。前提是要知道e^{e-1}是多大的值。$

facebooker

写一下看看 给点灵感也行啊

isee

回复 1# facebooker


有没试过将$e^x,\ln(x+1)$均在$x=1$处展开试试（前者三项，后者二项)?我没试过，只是一个猜测，这样能将导数转化为2次，硬算总是可以的，但是否能够放缩到位却不知。

走走看看

回复 3# facebooker

$修正一下，要知道e^{2.6-1}才行。$

$ g(x)=f(x-1)=e^{x-1}+lnx-x^2+1$

$g'(x)=e^{x-1}+\frac{1}{x}-2x$

$g''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x^2}-2$

$显然g''(x)是增函数。又g''(1)=﹣2<0，g''(2)=e-2.25>0，所以存在x0∈（1,2）使得g''(x0)=0$

$在（1，x0）上，g''(x)＜0，在（x0，+∞）上，g''(x)＞0$

$所以g'(x)在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增。$

$而g'(1)=0，g'(2)<0,g'(2.6)=0.14>0，所以存在x'∈（2,2.6），使得g'(x')=0$

$所以g(x)在（1，x'）上单调递减，在（x',+∞）上单调递增。$

$所以g(x)≥g(x')。$

$由g'(x')=0得  e^{x'-1}=2x'-\frac{1}{x'}$

$代入g(x),则有h(x')=g(x')=2x'-\frac{1}{x'}+lnx'-x'^2+1,x'∈（2,2.6）$

$所以h'(x')=2+\frac{1}{x'^2}+\frac{1}{x'}-2x',$

$因为x'∈（2,2.6），所以h'(x')<0，h(x')单调递减。$

$所以 h(x')＞h(2.6)=0.01>0$

原命题得证。

kuing

记 `a=e^{3/2}`，下面证明当 `x\geqslant0` 时有
\[e^x\stackrel{\text{（1）}}\geqslant1+\frac{a-4}3x+\frac{2a+4}9x^2\stackrel{\text{（2）}}>\frac{57x^2+58x}{49}\stackrel{\text{（3）}}\geqslant x^2+2x-\frac{2x}{x+2}\stackrel{\text{（4）}}\geqslant x^2+2x-\ln(x+1).\]

（1）令
\[f(x)=e^x-1-\frac{a-4}3x-\frac{2a+4}9x^2,\quad x\geqslant0,\]求导得
\begin{align*}
f'(x)&=e^x-\frac{a-4}3-\frac{4a+8}9x,\\
f''(x)&=e^x-\frac{4a+8}9,
\end{align*}易知 `4<a<5`，故 `f''(x)` 先负后正，即 `f'(x)\searrow\nearrow`，而
\begin{align*}
f(0)&=0,\\
f'(0)&=1-\frac{a-4}3=\frac{7-a}3>0,\\
f\left( \frac32 \right)&=a-1-\frac{a-4}3\cdot\frac32-\frac{2a+4}9\cdot\frac94=0,\\
f'\left( \frac32 \right)&=a-\frac{a-4}3-\frac{4a+8}9\cdot\frac32=0,\\
f''\left( \frac32 \right)&=a-\frac{4a+8}9=\frac{5a-8}9>0,
\end{align*}故 `f'(x)` 先正后负再正，即 `f(x)\nearrow\searrow\nearrow`，且 `x=3/2` 是极小值，因此 `f(x)_{\min}=\min\{f(0),f(3/2)\}=0`，所以（1）得证；

（2）等价于
\[1+\left( \frac{a-4}3-\frac{58}{49} \right)x+\left( \frac{2a+4}9-\frac{57}{49} \right)x^2>0,\]由 `e>2.71` 得 `a>\sqrt{2.71^3}>4.46`，可知当 `x\geqslant0` 时 `LHS>1-1.04x+0.272x^2`，计算得 `\Delta=-0.0064`，所以（2）得证；

（3）作差分解得
\[\frac{57x^2+58x}{49}-\left( x^2+2x-\frac{2x}{x+2} \right)=\frac{2x(2x-3)^2}{49(x+2)}\geqslant0;\]
（4）即 `\ln(x+1)\geqslant2x/(x+2)`，这是熟知的。

综上，不等式链得证。

kuing

更加 Bao Li 一点的话，用泰勒保留足够多项，有：
\[e^x>1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!},\]以及熟知 `\ln(x+1)\geqslant2x/(x+2)`，所以只需证
\[1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{2x}{x+2}>x^2+2x,\]去分母等价于
\[x^6+7x^5+30x^4-20x^3-240x^2+120x+240>0,\]配方为
\[15\left( \frac{17}8x^2-x-4 \right)^2+x^4(x-1)^2+x^3\left( 3x-\frac52\sqrt7 \right)^2+\frac{960\sqrt7-2479}{64}x^4>0,\]最后一项的系数由 `960\sqrt7>96\times26=2496>2479` 可知为正，所以不等式成立。

isee

回复 7# kuing

擦，这很有可能就是4楼中将ln(1+x)按x=1处展开，多半是猜错了。。。

kuing

回复 8# isee

未必啊，7# 是从 x=0 处展开的，你 4# 是说从 x=1 处展，离得比我近，可能不需要那么多项，我也没试过，因为我干脆如 6# 那样构造在 x=3/2 相切的抛物线，更近，不过我那里并不是泰勒来的，因为我需要在 x=0 处也相等……

isee

回复 9# kuing


类似于插值？