一道集合创新题

走走看看

[2016届江苏省淮安市高三5月信息卷]
已知非空集合M满足  M包含于{0,1,2,...,n}(n≥2，n∈N*）
若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k-a∈M，
则称集合M具有性质P。设具有性质P的集合M的个数为f（n）
（1）        求f(2)的值；
（2）        求f(n)的表达式。

第二道题特别难。
参考答案没看懂。
应该怎样求呢？

请大家赐教！

走走看看

这是解答的图片。

走走看看

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想把它缩小一点，结果操作空间变成了100多k，现在这样57k。

走走看看

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第一小题，{0，1,2}的非空子集有{0}、{1}、{2}、{0,1}、{0,2}、{1,2}、{0,1,2}，共$2^3-1=7$个。

其中{0，1}，令k=0时，a∈{0,1}，2k-a所组成的集合是{0，-1}，显然-1不在{0,1}中。同理，k=1时，2k-a分别得到两个元素2和1，其中2不在{0,1}中；k=2时，2k-a得到4和3，都不在{0,1}中。因此不存在这样的k使得{0,1}满足条件。

找规律如下：
一个元素的{0}{1}{2}都符合；
两个元素的{0,1}、{0,2}、{1,2}，其中{0,1}、{1,2}不符合；
三个元素的{0,1,2}符合。

看不出来，有什么规律。

这个东西，高考不会考吧？似乎是用到了集合论知识。

kuing

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啥集合论啊……这题考的并不是集合，也不是数列（主题分类已更改），这压根儿就是道排列组合题……

用白话翻译题目就是：在 `\{0,1,\ldots,n\}` 中取出一些数，使之关于某个自然数 `k` 对称，求取法数。

（1）若 `n` 为奇数，令 `n=2m+1`，则：
当 `k\leqslant m` 时，只要 `\{0,\ldots,k\}` 中的取法确定了，后面的也就确定了，所以总数是 `(2^1-1)+(2^2-1)+\cdots+(2^{m+1}-1)=2^{m+2}-m-3`。
由对称性知 `k\geqslant m+1` 的数目与 `k\leqslant m` 的相同，所以全部就是乘个 `2`，即 `2^{m+3}-2m-6`。
写回 `n` 就是 `f(n)=2^{(n-1)/2+3}-n-5=4\times2^{(n+1)/2}-n-5`；

（2）若 `n` 为偶数，令 `n=2m`，则：
当 `k\leqslant m-1` 时，类似地，总数是 `(2^1-1)+(2^2-1)+\cdots+(2^m-1)=2^{m+1}-m-2`。
由对称性知 `k\geqslant m+1` 的数目与 `k\leqslant m-1` 的相同，另外 `k=m` 时是 `2^{m+1}-1`。
所以全部就是 `2(2^{m+1}-m-2)+2^{m+1}-1`，化简即 `6\times2^m-2m-5`。
写回 `n` 就是 `f(n)=6\times2^{n/2}-n-5`。

参考答案搞递推复杂了点，我直接算多简单。

走走看看

回复 5# kuing

Kuing  太棒了！

这原来是一道研究对称问题的。

假设M={0,1,2,3,4,5}
当k=2时，按照Kuing推导的公式有$2^3-1=7$个。
不过我列了一下表，似乎少一个，只有6个：
{2}，{0,4}，{1,3}，{0,2,4}，{1,2,3}，{0,1,2,3,4}。
不知道少了哪一个。

色k

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走走看看

回复 7# 色k

对，谢谢！

这个东西隐藏得很深啊。