柯西不等式的简单应用

Shiki

对正数$a_i,b_i (i=1,2,\cdots,n)$
求证：
$$\sum^n_{i=1} \frac {a_i}{\sum^n_{k=1}a_kb_k - a_ib_i} \geqslant \frac {4}{\sum^n_{i=1}b_i}$$

kuing

标题太短……连正数也不写……啧……罢了，反正题也是没啥意思……

记 `S=\sum_{k=1}^na_kb_k`，不等式就是
\[\sum_{i=1}^nb_i\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{S-a_ib_i}\geqslant4,\]由 CS 及 AG 有
\[LHS\geqslant\left( \sum_{i=1}^n\sqrt{\frac{a_ib_i}{S-a_ib_i}} \right)^2=\left( \sum_{i=1}^n\frac{2a_ib_i}{2\sqrt{a_ib_i(S-a_ib_i)}} \right)^2\geqslant\left( \sum_{i=1}^n\frac{2a_ib_i}S \right)^2=4.\]

Shiki

回复 2# kuing
让我完善一番