|
|
有点意思，取等不容易发现……
引理：设 `x_i`（`1\leqslant i\leqslant n`）为非负实数，则：
当 `n=3` 时，有 `(x_1+x_2+x_3)^2\geqslant3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)`；
当 `n\geqslant4` 时，有 `(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\geqslant4(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n+x_nx_1)`。
引理的证明：当 `n=3` 时显然，当 `n\geqslant4` 时见《撸题集》P.334 题目 3.3.10。
原题的证明：记 `S=a_1+a_2+\cdots+a_{2n}`，当 `n=3` 时，由引理及条件有
\[(a_1+a_3+a_5)^2\geqslant3(a_1a_3+a_3a_5+a_5a_1)\geqslant3(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6)=3S,\]即
\[a_1+a_3+a_5\geqslant\sqrt{3S},\]同理
\[a_2+a_4+a_6\geqslant\sqrt{3S},\]相加得
\[S\geqslant2\sqrt{3S}\iff S\geqslant12,\]当所有 `a_i` 及 `b_i` 都是 `2` 时取等；
当 `n\geqslant4` 时，类似地，由引理及条件有
\[(a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1})^2\geqslant4(a_1a_3+a_3a_5+\cdots+a_{2n-1}a_1)\geqslant4(b_1+b_2+\cdots+b_{2n-1}+b_{2n})=4S,\]即
\[a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}\geqslant2\sqrt S,\]同理
\[a_2+a_4+\cdots+a_{2n}\geqslant2\sqrt S,\]相加得
\[S\geqslant4\sqrt S\iff S\geqslant16,\]当 `a_i` 为 `(2,2,4,4,2,2,0,0,\ldots,0)` 且 `b_i` 为 `(0,8,0,8,0,0,0,0,\ldots,0)` 时取等。
综上，当 `n=3` 时最小值为 `12`，当 `n\geqslant4` 时最小值为 `16`。 |
|
zhcosin
Posted 2020-9-27 19:07
