2020年全国高中数学联赛加试几何题：圆中等腰证垂直

isee

题目：如图，在等腰$\triangle ABC$中，$AB=BC$，$I$为内心，$M$为$BI$的中点，$P$为$AC$上一 点，满足$AP=3PC$，$PI$延长线上一点$H$满足$MH\perp PH$，$Q$为$\triangle ABC$的外接圆上劣弧$AB$的中点。
证明：$BH\perp QH$。

isee

高中数学联赛的加试几何题我一般是啃不动的，不过，在人教群里第一时间被hbghlyj剧透了，以下过程只不过是按其方向补充完整而已。


依题，内心$I$，弧$AB$中点$Q$，及$C$是共线的。

如图所示$$\triangle MHI \sim PNI\Rightarrow \frac{MH}{MI}=\frac{PN}{PI},\angle HMI=\angle NPI,$$

$P$为等腰三角形$ABC$底边靠近点$C$的四等分点，所以$$NP=PC,\text{又} MI=BM,$$

从而$$ \frac{MH}{BM}=\frac{PC}{PI},\angle HMB=\angle CPI\Rightarrow \triangle BHM \sim IPC,$$

所以$$\angle BHM=\angle IPC=\frac 12\angle A=\frac 12 \angle BQI,$$

另一方面$$\angle QIB=\angle ICB+\angle IBC=\angle QBA+\angle IBA=\angle QBI\Rightarrow QB=QI,$$

又$M$为$BI$中点，故$$\angle BHM=\frac 12 \angle BQI=\angle BQM,$$

从而点$Q,B,M,H$四点共圆，进一步有$$\angle QHB=\angle QMB=90^{\circ},$$证毕。

乌贼

就是由

$ \triangle ABC $中$ AB=AC  $，$ D $为$ BC $的中点，$ E $为$ AD $的中点，点$ F $在$ CE $上且$ DF\perp CE $。求证：$AF\perp BF $
转化而来
证明：\[ \triangle FED\sim \triangle DEC \riff\dfrac{FE}{DE}=\dfrac{DE}{CE}\riff\dfrac{FE}{AE}=\dfrac{AE}{CE}\riff\triangle FEA\sim \triangle AEC\riff\angle EAF=\angle ECA\riff\angle FDC=\angle DEF =\angle DAC+\angle ECA=\angle DAB+\angle EAF=\angle BAF \]即$ ABDF $四点共圆，故\[ \angle AFB=\angle ADB=90\du  \]

色k

回复 3# 乌贼

哇！好久没见！！！

乌贼

两黄三角形相似得两绿三角形相似有ABDF四点共圆