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法一：令
\[f(n)=n^3x_1+(n+1)^3x_2+\cdots+(n+6)^3x_7-n,\]则由条件有 `f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0`，而 `f(n)` 的次数不超过 `3`，它有四个不同的根，只能恒为零，所以 `f(5)=0`，即所求式为 `5`。
此法零计算量，全因等式右边是等差，如果右边换成一般的数字，其实也可以做，计算量也很小：
法二：令
\[g(n)=n^3x_1+(n+1)^3x_2+\cdots+(n+6)^3x_7,\]由拉格朗日插值公式，`g(n)` 可以写成
\begin{align*}
g(n)={}&\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}g(1)+\frac{(n-1)(n-3)(n-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}g(2)\\
&+\frac{(n-1)(n-2)(n-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}g(3)+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}g(4),
\end{align*}所以
\[g(5)=-g(1)+4g(2)-6g(3)+4g(4).\] |
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