求$\sum\frac{1}{a_1+2a_2+\dots+na_n}$最大值

tommywong

teomihai：

If you have litle time how you resolve this?
ｉf $a_1,a_2,...,a_n>0$, and A=$a_1+a_2+...+a_n$
then $\displaystyle\frac{1}{a_1+2a_2+...+na_n}+\frac{1}{a_2+2a_3+...+na_1}+...+\frac{1}{a_n+2a_1+...+na_{n-1}}<\frac{2\sqrt{n}}{A}$ if $n\geq2$
THANKS VERY MUCH

kuing

为了便于表述我们让各 `a_i` 可以取 `0`，将不等式左边记为 `f`。

固定 `A` 及 `a_i` 中任意 `n-2` 个，比如固定 `a_3` 至 `a_n`，此时 `a_2=C-a_1` （`C` 为常数），那么 `f` 的各项都是型如 `1/(Ma_1+N)` 的分式，而当 `Ma_1+N` 恒正时 `1/(Ma_1+N)` 是关于 `x` 的下凸函数，下凸函数之和仍为下凸函数，所以 `f` 是关于 `a_1` 的下凸函数，而下凸函数的最大值在边界取得，所以当 `a_1` 或 `a_2` 为零时 `f` 取最大值，由此可见，`f` 取最大值时必然是 `n-1` 个变量为零，所以
\[f\leqslant\frac1A\left(1+\frac12+\cdots+\frac1n\right),\]然后由熟悉的基础题有 `1+1/2+\cdots+1/n<1+1/\sqrt2+\cdots+1/\sqrt n<2\sqrt n-1<2\sqrt n`……

所以其实题目可以出得更吓人一点，就是将分母的系数改为 `a_1+\sqrt2a_2+\cdots+\sqrt na_n` 酱紫