又是零点问题

aishuxue

已知$a>0$, 求证: 函数$f(x)=a\ln x+\dfrac{2}{x}-a-2$在$(0,+\infty)$上有两个零点.
我的困惑是: 在区间$(\dfrac{2}{a},+\infty)$上比较好找，在$(0,\dfrac{2}{a})$上不知道怎么找.

kuing

`(0,2/a)` 上的话，分个类吧：

若 `a\leqslant1`，取 `x_1=1/e\in(0,2/a)`，有 `f(x_1)=2(e-a-1)>0`；

若 `a>1`，取 `x_2=1/(ea^2)\in(0,2/a)`，有 `f(x_2)=-2a\ln a+2ea^2-2a-2>-2a(a-1)+4a^2-2a-2=2(a^2-1)>0`。

isee

回复 2# kuing

不可思议，竟然没用极限

色k

回复 3# isee

面对现实，明知扯极限也是白扯啊……

aishuxue

回复 2# kuing
取这样的数，是如何想到的

kuing

回复 5# aishuxue

尝试呗，实际上我还先尝试过 1/a, 1/(ea) 之类，都不够小，再升次就够了，如果还不够，再换更高阶形式……

aishuxue

回复 6# kuing


谢谢，辛苦了！